Riflessione (geometria)
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In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Sia
Una riflessione rispetto a
dove a è un qualsiasi vettore ortogonale a
Sia p un punto nello spazio euclideo. Una riflessione rispetto a p è la trasformazione lineare data da
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]- La matrice associata ad una riflessione rispetto ad una base ortonormale i cui primi n − 1 elementi sono contenuti nell'iperpiano è molto semplice: è una matrice diagonale aventi tutti i valori 1 sulla diagonale tranne l'ultimo, che è -1.
- La composizione di due riflessioni lungo lo stesso iperpiano p è la funzione identità.
- La composizione di due riflessioni del piano lungo rette distinte può essere una rotazione o una traslazione.
- Ogni matrice associata ad una riflessione rispetto ad una qualsiasi base è una matrice ortogonale con determinante uguale a − 1.
- Utilizzando la definizione di matrice di Householder, si possono ricavare molto facilmente le equazioni relative a questo tipo di trasformazione.
Geometria euclidea piana
[modifica | modifica wikitesto]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Symcentre.png/220px-Symcentre.png)
Nel piano euclideo, due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto a una retta r (cui non appartengono) quando r è l'asse del segmento [AA']. Il punto A' è il simmetrico di A rispetto ad r e viceversa.
La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto A che non appartiene ad r il punto A' suo simmetrico, e ad ogni punto C in r associa il punto C stesso, è detta simmetria assiale di asse r nel piano considerato.
La simmetria assiale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.
Alcuni autori utilizzano la notazione per indicare la simmetria assiale di asse r; il simmetrico di A si scrive quindi .
La simmetria assiale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità.
Infine, la simmetria assiale è un'isometria di tipo inverso, cioè inverte l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.)
Definizione di simmetria assiale
[modifica | modifica wikitesto]Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione geometrica che lascia invariata la retta r e che associa ad ogni punto P del piano non appartenente ad r il punto Q in modo tale che il segmento PQ sia perpendicolare alla retta r e abbia come punto medio H, piede della perpendicolare condotta da P a r.
Simmetria assiale in geometria analitica
[modifica | modifica wikitesto]Data l'equazione dell'asse di simmetria e il segmento di estremi e , la retta passante per P e Q è perpendicolare all'asse di simmetria (pertanto ) e lo interseca nel punto medio H di coordinate
Poiché H appartiene all'asse, vale la seguente equazione:
Il coefficiente angolare della retta passante per P e Q si può scrivere come
Pertanto,
Per determinare le coordinate del punto Q, simmetrico di P, si ricorre al sistema di equazioni
Da cui si ricava
Casi particolari
[modifica | modifica wikitesto]- Simmetria assiale rispetto alla retta , bisettrice del primo e del terzo quadrante
- Simmetria assiale rispetto alla retta , bisettrice del secondo e del quarto quadrante
- Simmetria assiale rispetto alla retta , parallela all'asse y
- Simmetria assiale rispetto alla retta , parallela all'asse x
- Simmetria assiale rispetto alla retta , asse delle ordinate
- Simmetria assiale rispetto alla retta , asse delle ascisse
In geometria descrittiva
[modifica | modifica wikitesto]La riflessione è un tipo di corrispondenza biunivoca detta affinità che può essere ortogonale, quando il piano di riflesso (specchio) è ortogonale al piano della figura oggettiva, altrimenti obliqua.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Isometria del piano
- Rotazione (matematica)
- Matrice ortogonale
- Gruppo ortogonale
- Affinità (geometria descrittiva)
- Traslazione (geometria)
- Omotetia
Altri progetti
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Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Riflessione, su MathWorld, Wolfram Research.
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