ディリクレ核かく

解析かいせき学がくにおけるディリクレ核かく（ディリクレかく、英えい: Dirichlet kernel）は、函はこ数列すうれつ

$D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}$

の各項かくこうを総称そうしょうするものである。名称めいしょうはヨハン・ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレに因ちなむ。

フーリエ級数きゅうすうとの関係かんけい

ディリクレ核かくはフーリエ級数きゅうすうとの関連かんれんにおいて重要じゅうようである。ディリクレ核かく D_n と周期しゅうき 2πぱい の任意にんいの函数かんすう f との畳たたみ込こみは f の n-次つぎのフーリエ級数きゅうすう近似きんじとなる。すなわち、

${\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx$

を f の k-次じフーリエ係数けいすうとして、

$(D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}$

が成なり立たつ。このことは、フーリエ級数きゅうすうの収束しゅうそく性せいを調しらべるにはディリクレ核かくの性質せいしつを調しらべれば十分じゅうぶんであることを示しめしている。特とくに重要じゅうようなのは、D_n の L¹-ノルムが n → ∞ とする極限きょくげんで無限むげん大だいに発散はっさんするという事実じじつである。この発散はっさんの度合どあいは

$\|D_{n}\|_{L^{1}}\approx \log n$

と評価ひょうかすることができる。ここで "≈" は「（増大ぞうだい度どが）～の程度ていどである」という意味いみである。フーリエ級数きゅうすうに対たいする発散はっさん現象げんしょうの多おおくは、一様いちよう可か積分せきぶん性せいの欠如けつじょによるものである。たとえば、一様いちよう有界ゆうかい性せい原理げんりとあわせれば連続れんぞく函数かんすうのフーリエ級数きゅうすうが激はげしく各かく点てん収斂しゅうれんしない可能かのう性せいが示しめせる（詳細しょうさいはフーリエ級数きゅうすうの収束しゅうそく性せいの項こうを参照さんしょう）。

デルタ函数かんすうとの関係かんけい

周期しゅうき的てきデルタ函数かんすう（これは「集合しゅうごうから集合しゅうごうへの写像しゃぞう」という意味いみでは函数かんすうではなく、シュワルツ超ちょう函数かんすうとも呼よばれる超ちょう函数かんすうと考かんがえるべきである）に 2π を掛かければ、周期しゅうき 2πぱい の函数かんすう同士どうしの畳たたみ込こみの単位たんい元もとが得えられる。すなわち、周期しゅうき 2πぱい の任意にんいの函数かんすう f に対たいして

$f*(2\pi \delta )=f$

が成立せいりつする。このデルタ函数かんすうのフーリエ級きゅう数表現すうひょうげんは

$2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right)$

であり、したがって（ちょうどこの級数きゅうすうの部分ぶぶん和わの列れつとなっている）ディリクレ核かくは「近似きんじ単位たんい元もと」であると考かんがえることができる。しかし、抽象ちゅうしょう的てきな話はなしをすれば、これは正せいの元もとからなる近似きんじ単位たんい元もととはなっていない（このことが、前述ぜんじゅつのようなフーリエ級数きゅうすうの一様いちよう可か積分せきぶん性せいの欠如けつじょや各かく点てん収束しゅうそくしないといった議論ぎろんにつながる）。

参考さんこう文献ぶんけん

• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Books))

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Dirichlet's Lemma". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Integrals". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Dirichlet kernel - ウェイバックマシン（2013年ねん10月がつ31日にちアーカイブ分ぶん）