上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげん

数学すうがくにおいて、数列すうれつ（以下いかこの記事きじにおいては、単たんに数列すうれつと言いったら実じつ数列すうれつのことを指さすものとする） $(a n) n \in N$ の上うえ極限きょくげん（じょうきょくげん、英語えいご: limit superior）および下しも極限きょくげん（かきょくげん、英語えいご: limit inferior）とは、 $n$ を無限むげんに大おおきくしていったときの数列すうれつの挙動きょどうから決きまる実数じっすうであり、この数列すうれつの極限きょくげんに（ある意味いみで）なりうる値ねを上うえと下したからおさえるために使つかわれる。

数列すうれつ $(a n)$ の上うえ極限きょくげんを表あらわす記号きごうには

\varlimsup _{n\to \infty }a_{n},\quad \limsup _{n\to \infty }a_{n}

の二に種類しゅるいがある。同様どうように下しも極限きょくげんは

\varliminf _{n\to \infty }a_{n},\quad \liminf _{n\to \infty }a_{n}

と書かく。

定義ていぎ

数列すうれつ $(a n)$ の上うえ極限きょくげんは $\varlimsup _{n\to \infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{k\geq n}a_{k}\right)$ または $\varlimsup _{n\to \infty }a_{n}:=\inf _{n\in \mathbb {N} }\sup _{k\geq n}a_{k}=\inf\{\,\sup\{\,a_{k}\mid k\geq n\,\}\mid n\in \mathbb {N} \,\}$ で定義ていぎされる。同様どうように下しも極限きょくげんは $\varliminf _{n\to \infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{k\geq n}a_{k}\right)$ または $\varliminf _{n\to \infty }a_{n}:=\sup _{n\in \mathbb {N} }\inf _{k\geq n}a_{k}=\sup\{\,\inf\{\,a_{k}\mid k\geq n\,\}\mid n\in \mathbb {N} \,\}$ で定義ていぎされる。

性質せいしつ

数列すうれつ $(a n)$ の上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげんは（無限むげん大だいをとることを許ゆるせば）必かならず存在そんざいする。これは極限きょくげん値ちが存在そんざいするかどうか分わからないのと対照たいしょう的てきである。

$(a n)$ の部分ぶぶん列れつ $(b n)$ が収束しゅうそくしたとする。このとき $\varliminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}\leq \varlimsup _{n\to \infty }a_{n}.$
$(a n)$ の部分ぶぶん列れつで上うえ極限きょくげんに収束しゅうそくするものが存在そんざいする。下した極限きょくげんについても同様どうよう。

この2つの性質せいしつから導みちびける次つぎの性質せいしつがもっとも重要じゅうようである。

「 $(a n)$ が収束しゅうそくすること」と「上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげんが一致いっちすること」は同値どうちである。

集合しゅうごう列れつの上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげん

数列すうれつの場合ばあいと同様どうようにして、集合しゅうごうの列れつ $(A n)$ にも上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげんが定義ていぎされる。

\varlimsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\bigcup _{k\geq n}A_{k}

\varliminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\bigcap _{k\geq n}A_{k}

集合しゅうごうの列れつの場合ばあいは上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげんが一致いっちするときに集合しゅうごうの列れつは収束しゅうそくするといい、

\lim _{n\to \infty }A_{n}

と書かくことがある。これらは集合しゅうごうのかわりに集合しゅうごうの定義ていぎ関数かんすうの列れつを考かんがえれば、数列すうれつの場合ばあいの定義ていぎと一致いっちする。

集合しゅうごう列れつの上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげんは確率かくりつ論ろんでよく使つかわれる。確率かくりつ論ろんにおいては列れつとして事象じしょうの列れつ $(A n)$ を考かんがえる。例たとえば、サイコロを無限むげん回かい振ふるという試行しこうを行おこない $n$ 回かい目めのサイコロの目めが1であるという事象じしょうを $A n$ と呼よぶことにする。この事象じしょうの列れつの上うえ極限きょくげん・下しも極限きょくげん

\varlimsup _{n\to \infty }A_{n},\quad \varliminf _{n\to \infty }A_{n}

もまた事象じしょうになる。この事象じしょうの意味いみは

事象じしょう列れつの上うえ極限きょくげん: 無限むげんに多おおくの $n$ に対たいして、 $A n$ が起おきるという事象じしょう。サイコロの場合ばあいは、無限むげん回かいサイコロを投なげたら、1の目めが無限むげん回かいでるという事象じしょうである。
事象じしょう列れつの下しも極限きょくげん: 有限ゆうげん個この例外れいがいを除のぞいた残のこりすべての $n$ に対たいして、 $A n$ が起おきるという事象じしょう。サイコロの場合ばあいは、無限むげん回かいサイコロを投なげたら、1以外いがいの目めは有限ゆうげん回かいしか出でず残のこりはすべて1の目めが出でるという事象じしょうである。

事象じしょう列れつの上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげんも事象じしょうであるから、確かく率りつを計算けいさんすることができる。サイコロの場合ばあいは上うえに書かいたことから直感ちょっかん的てきには

P(\varlimsup _{n\to \infty }A_{n})=1

P(\varliminf _{n\to \infty }A_{n})=0

となりそうだが、定義ていぎに従したがって計算けいさんするのは難むずかしい。この確かく率りつが 0 または 1 になる簡単かんたんな十じゅう分ふん条件じょうけんを与あたえるのが、ボレル–カンテリの補題ほだいである。

参考さんこう文献ぶんけん

黒田くろだ成俊なりとし『微分びぶん積分せきぶん』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈共立きょうりつ講座こうざ 21世紀せいきの数学すうがく〉、2002年ねん。