二乗にじょう平均へいきん平方根へいほうこん誤差ごさ

二乗にじょう平均へいきん平方根へいほうこん誤差ごさ（にじょうへいきんへいほうこんごさ）は、モデルまたは推定すいてい量りょうにより予測よそくされた値ね（標本ひょうほん値ちまたは母集団ぼしゅうだん値ち）と観測かんそくされた値ねの間あいだの差さとして頻繁ひんぱんに使用しようされる尺度しゃくどである。RMSE (root-mean-square errorの略りゃく)またはRMSD (root-mean-square deviationの略りゃく) などとも書かかれる。RMSDは、予測よそく値ちと観測かんそく値ちの差さの2次じの標本ひょうほんモーメントの平方根へいほうこん、すなわちこれらの差さの二乗にじょう平均へいきん平方根へいほうこんを表あらわしている。これらの偏差へんさは、推定すいていに使用しようされたデータ標本ひょうほんで計算けいさんされた場合ばあいは残ざん差さと呼よばれ標本ひょうほんでなく計算けいさんされた場合ばあいは誤差ごさ（または予測よそく誤差ごさ）と呼よばれる。RMSDは、様々さまざまなデータ点てんの予測よそくにおける誤差ごさの大おおきさを予測よそく力りょくの1つの尺度しゃくどに集約しゅうやくする役割やくわりをする。RMSDは、スケールに依存いぞんするため、データセット間あいだではなく特定とくていのデータセットに対たいする異ことなるモデルの予測よそく誤差ごさを比較ひかくするための正せい確度かくどの尺度しゃくどである^[1]。

RMSDは常つねに非負ひふの値ねをとり、（ほとんど起おこらないが）0はデータに完全かんぜんにフィットしていることを示しめす。一般いっぱん的てきにはRMSDが小ちいさい方ほうが良よいとされている。しかし、この尺度しゃくどは使用しようする数値すうちの尺度しゃくどに依存いぞんするため、異ことなる種類しゅるいのデータ間あいだでの比較ひかくは意味いみを持もたない。

RMSDは、平均へいきん二に乗じょう誤差ごさの平方根へいほうこんである。各かく誤差ごさがRMSDに与あたえる影響えいきょうは二に乗じょう誤差ごさの大おおきさに比例ひれいするため、誤差ごさが大おおきいほどRMSDへの影響えいきょうも比例ひれいして大おおきくなる。そのため、誤差ごさが大おおきいほどRMSDへの影響えいきょうが大おおきく、結果けっかとして外はずれ値ちの影響えいきょうを受うけやすくなる^[2]^[3]。

式しき[編集へんしゅう]

推定すいていパラメータ $\theta$ に対たいする推定すいてい量りょう ${\hat {\theta }}$ に対たいするRMSDは、平均へいきん二に乗じょう誤差ごさ (MSE) の平方根へいほうこんとして定義ていぎされる。

\operatorname {RMSD} ({\hat {\theta }})={\sqrt {\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})}}={\sqrt {\operatorname {E} (({\hat {\theta }}-\theta )^{2})}}.

不偏ふへん推定すいてい量りょうの場合ばあい、RMSDは分散ぶんさんの平方根へいほうこんであり標準ひょうじゅん偏差へんさと呼よばれる。

T回かい観測かんそくされた変数へんすうを持もつ回帰かいきの従属じゅうぞく変数へんすう $y_{t},$ の時間じかん t に対たいする予測よそく値ち ${\hat {y}}_{t}$ のRMSDは、T個この異ことなる予測よそくに対たいして、偏差へんさの二に乗じょうの平均へいきんの平方根へいほうこんとして計算けいさんされる。

\operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}({\hat {y}}_{t}-y_{t})^{2}}{T}}}.

（横断おうだんデータ（英語えいご版ばん）の回帰かいきでは、添そえ字じの t を i に、T を n を置おき換かえる）

分野ぶんやによっては、RMSDは、変化へんかする可能かのう性せいがありどちらも「標準ひょうじゅん」として受うけ入いれられない2つのものの間あいだの差さを比較ひかくするために使用しようされる。例たとえば、2つの時とき系列けいれつ $x_{1,t}$ と $x_{2,t}$ の平均へいきん的てきな差さを測定そくていする場合ばあい、式しきは次つぎのようになる。

\operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(x_{1,t}-x_{2,t})^{2}}{T}}}.

正規せいき化か[編集へんしゅう]

RMSDを正規せいき化かすることで、スケールの異ことなるデータセットやモデル間あいだでの比較ひかくが容易よういになる。正規せいき化かの方法ほうほうは文献ぶんけんにより統一とういつされていないが、一般いっぱん的てきには測定そくていデータの平均へいきん値ちまたは範囲はんい（最大さいだい値ちから最小さいしょうを引ひいたもの）が選択せんたくされる^[4]。

\mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{y_{\max }-y_{\min }}}

または

\mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}

.

この値ねは一般いっぱん的てきにNRMSD (normalized root-mean-square deviation) または NRMSE (normalized root-mean-square error) と呼よばれ、多おおくの場合ばあいパーセンテージで表あらわされ、値ねが低ひくいほど残ざん差さ分散ぶんさんが少すくないことを示しめす。多おおくの場合ばあい、少すくない標本ひょうほんでは標本ひょうほん範囲はんいが標本ひょうほんの大おおきさに影響えいきょうされ、比較ひかくの妨さまたげになると思おもわれる。

RMSDをより有用ゆうような比較ひかく尺度しゃくどとするための別べつの方法ほうほうとして、RMSDを四よん分ふん位い範囲はんい（英語えいご版ばん） (IQR)で分わけることが考かんがえられる。RMSDをIQRで分わけると、正規せいき化かされた値ねは対照たいしょうとなる変数へんすうの極端きょくたんな値ねに対たいする感度かんどが低ひくくなる。

\mathrm {RMSDIQR} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{IQR}}

（ここで

IQR=Q_{3}-Q_{1}

）

$Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25)$ であり $Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75)$ である。CDF⁻¹は分ぶん位い点てん関数かんすう（英語えいご版ばん）である。

測定そくてい値ちの平均へいきん値ちで正規せいき化かする場合ばあい、曖昧あいまいさを避さけるためにRMSDの変動へんどう係数けいすう(coefficient of variation of the RMSD, CV(RMSD)) という用語ようごを使用しようすることがある^[5]。これは、標準ひょうじゅん偏差へんさの代かわりにRMSDを用もちいた変動へんどう係数けいすうに類似るいじする。

\mathrm {CV(RMSD)} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}.

平均へいきん絶対ぜったい誤差ごさ[編集へんしゅう]

研究けんきゅう者しゃの中なかにはRMSDの代かわりに平均へいきん絶対ぜったい誤差ごさ（英語えいご版ばん） (MAE)を使用しようすることを推奨すいしょうしている。MAEはRMSDよりも説明せつめい力りょくがあるという利点りてんがある。MAEは、誤差ごさの絶対ぜったい値ちの平均へいきん値ちである。WAEは、二乗にじょう誤差ごさの平均へいきん値ちの平方根へいほうこんよりも基本きほん的てきに理解りかいしやすい。さらに、各かく誤差ごさは誤差ごさの絶対ぜったい値ちに比例ひれいしてMAEに影響えいきょうを与あたえるが、RMSDの場合ばあいはそうではない^[2]。

使用しよう例れい[編集へんしゅう]

気象きしょう学がくにおいて、大気たいきの挙動きょどうを予測よそくする数学すうがく的てきモデルの効果こうかを確認かくにんするために使用しようされる。
バイオインフォマティクスにおいて、原子げんし位置いちの二乗にじょう平均へいきん平方根へいほうこん偏差へんさは重かさね合あわせたタンパク質たんぱくしつの原子げんし間あいだの平均へいきん距離きょりの尺度しゃくどである。
構造こうぞうに基もとづく医薬品いやくひん設計せっけいでは、RMSDはリガンドの結晶けっしょうコンフォメーションとドッキング予測よそくとの間あいだの差さを示しめす尺度しゃくどである。
経済けいざい学がくにおいて、RMSDは経済けいざいモデルが経済けいざい指標しひょうに適合てきごうしているか否ひかを決定けっていするために使用しようされる。専門せんもん家かの中なかには、RMSDは相対そうたい絶対ぜったい誤差ごさよりも信頼しんらい性せいが低ひくいと主張しゅちょうする者ものもいる^[6]。
実験じっけん心理しんり学がくにおいて、RMSDは行動こうどうに関かんする数学すうがくまたは計算けいさんモデルが経験けいけん的てきに観察かんさつされた行動こうどうをどの程度ていど説明せつめいできるかを評価ひょうかするために使用しようされる。
地理ちり情報じょうほうシステムにおいて、RMSDは空間くうかん分析ぶんせきやリモートセンシングの精度せいどを評価ひょうかするための指標しひょうの1つである。
水みず文ぶん地質ちしつ学がくにおいて、RMSDとNRMSDは、地下水ちかすいモデルのキャリブレーションを評価ひょうかするために使用しようされる^[7]。
イメージングサイエンスにおいて、RMSDはピーク信号しんごう対たい雑音ざつおん比ひの一部いちぶであり、画像がぞうを再さい構成こうせいする方法ほうほうが元もとの画像がぞうに対たいしてどの程度ていど優すぐれているかを評価ひょうかするために使用しようされる指標しひょうである。
計算けいさん論ろん的てき神経しんけい科学かがくにおいて、RMSDはシステムが与あたえられたモデルをどれだけうまく学習がくしゅうできるかを評価ひょうかするために使用しようされる^[8]。
タンパク質たんぱくしつの核かく磁気じき共鳴きょうめい分光ぶんこう法ほう（英語えいご版ばん）において、RMSDは得えられた構造こうぞうの束たばの質しつを評価ひょうかする尺度しゃくどとして使用しようされる。
Netflix Prizeの応募おうぼ作品さくひんは、テストデータセットの非公開ひこうかいの「真しん値ち」からのRMSDを使用しようして審査しんさされた。
建物たてもののエネルギー消費しょうひ量りょうのシミュレーションでは、RMSEとCV(RMSE)は建物たてものの実測じっそく値ちに対たいしてモデルを較正こうせいするために使用しようされる^[9]。
X線せん結晶けっしょう構造こうぞう解析かいせきにおいて、RMSD（およびRMSZ）は、分子ぶんし内部ないぶの座標ざひょうが制限せいげん付つきライブラリ値ちからどれだけ乖離かいりしているかを測定そくていするために使用しようされる。

出典しゅってん[編集へんしゅう]

^ Hyndman, Rob J.; Koehler, Anne B. (2006). “Another look at measures of forecast accuracy”. International Journal of Forecasting 22 (4): 679–688. doi:10.1016/j.ijforecast.2006.03.001.
^ ^a ^b Pontius, Robert; Thontteh, Olufunmilayo; Chen, Hao (2008). “Components of information for multiple resolution comparison between maps that share a real variable”. Environmental Ecological Statistics 15 (2): 111–142. doi:10.1007/s10651-007-0043-y.
^ Willmott, Cort; Matsuura, Kenji (2006). “On the use of dimensioned measures of error to evaluate the performance of spatial interpolators”. International Journal of Geographical Information Science 20: 89–102. doi:10.1080/13658810500286976.
^ “Coastal Inlets Research Program (CIRP) Wiki - Statistics”. 2015年ねん2月がつ4日にち閲覧えつらん。
^ “FAQ: What is the coefficient of variation?”. 2019年ねん2月がつ19日にち閲覧えつらん。
^ Armstrong, J. Scott; Collopy, Fred (1992). “Error Measures For Generalizing About Forecasting Methods: Empirical Comparisons”. International Journal of Forecasting 8 (1): 69–80. doi:10.1016/0169-2070(92)90008-w.
^ Anderson, M.P.; Woessner, W.W. (1992). Applied Groundwater Modeling: Simulation of Flow and Advective Transport (2nd ed.). Academic Press
^ Ensemble Neural Network Model
^ ANSI/BPI-2400-S-2012: Standard Practice for Standardized Qualification of Whole-House Energy Savings Predictions by Calibration to Energy Use History

[1] Hyndman, Rob J.; Koehler, Anne B. (2006). “Another look at measures of forecast accuracy”. International Journal of Forecasting 22 (4): 679–688. doi:10.1016/j.ijforecast.2006.03.001.

[:0-2] Pontius, Robert; Thontteh, Olufunmilayo; Chen, Hao (2008). “Components of information for multiple resolution comparison between maps that share a real variable”. Environmental Ecological Statistics 15 (2): 111–142. doi:10.1007/s10651-007-0043-y.

[3] Willmott, Cort; Matsuura, Kenji (2006). “On the use of dimensioned measures of error to evaluate the performance of spatial interpolators”. International Journal of Geographical Information Science 20: 89–102. doi:10.1080/13658810500286976.

[4] “Coastal Inlets Research Program (CIRP) Wiki - Statistics”. 2015年ねん2月がつ4日にち閲覧えつらん。

[5] “FAQ: What is the coefficient of variation?”. 2019年ねん2月がつ19日にち閲覧えつらん。

[6] Armstrong, J. Scott; Collopy, Fred (1992). “Error Measures For Generalizing About Forecasting Methods: Empirical Comparisons”. International Journal of Forecasting 8 (1): 69–80. doi:10.1016/0169-2070(92)90008-w.

[7] Anderson, M.P.; Woessner, W.W. (1992). Applied Groundwater Modeling: Simulation of Flow and Advective Transport (2nd ed.). Academic Press

[8] Ensemble Neural Network Model

[9] ANSI/BPI-2400-S-2012: Standard Practice for Standardized Qualification of Whole-House Energy Savings Predictions by Calibration to Energy Use History

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式しき[編集へんしゅう]

正規せいき化か[編集へんしゅう]

平均へいきん絶対ぜったい誤差ごさ[編集へんしゅう]

使用しよう例れい[編集へんしゅう]

関連かんれん項目こうもく[編集へんしゅう]

出典しゅってん[編集へんしゅう]