可逆かぎゃく層そう

数学すうがくにおいて，可逆かぎゃく層そう（かぎゃくそう，英えい: invertible sheaf）とは，環たまき付つき空間くうかん $X$ 上うえの連接れんせつ層そう $S$ であって， $O X$ 加か群ぐんのテンソル積せきに関かんして逆ぎゃく元もと $T$ が存在そんざいするものである．可逆かぎゃく層そうは直線ちょくせん束たばという位相いそう的てきな概念がいねんの代数だいすう幾何きか学がくにおける対応たいおう物ぶつである．カルティエ因子いんしとの相互そうご作用さようのため，代数だいすう多様たよう体たいの研究けんきゅうで中心ちゅうしん的てきな役割やくわりを果はたす．

定義ていぎ

可逆かぎゃく層そう (invertible sheaf) とは，環たまき付つき空間くうかん $X$ 上うえの連接れんせつ層そう $S$ であって， $O X$ 加か群ぐんのテンソル積せきに関かんして逆ぎゃく元もと $T$ が存在そんざいするものである，つまり， $O X$ に同型どうけいな

S\otimes T\

があって，テンソル積せきについて単位たんい元もととして働はたらく．最もっとも重要じゅうような場合ばあいは代数だいすう幾何きか学がくと複素ふくそ多様たよう体たい論ろんから来くる場合ばあいである．それらの理論りろんにおける可逆かぎゃく層そうは実際じっさいには適切てきせつに定式ていしき化かされた直線ちょくせん束たばである．

実際じっさい，可逆かぎゃく層そうのスキーム論ろんにおける抽象ちゅうしょう的てきな定義ていぎは局所きょくしょ自由じゆうで階数かいすう 1という条件じょうけんに置おき換かえることができる．つまり，テンソルの逆ぎゃく元もとの条件じょうけんはすると， $X$ 上うえ局所きょくしょ的てきに， $S$ が可か換かわ環たまき上うえの階数かいすう 1 の自由じゆう加か群ぐんのなす層そうであることを導みちびく．例れいは代数だいすう的てき整数せいすう論ろんにおける分数ぶんすうイデアルから来き，定義ていぎはその理論りろんを捉とらえる．より一般いっぱんに， $X$ がアフィンスキーム $Spec(R)$ であるとき，可逆かぎゃく層そうは $R$ 上うえの階数かいすう 1 の射影しゃえい加か群ぐんから来くる．

ピカール群ぐん

→詳細しょうさいは「ピカール群ぐん」を参照さんしょう

極きわめて一般いっぱん的てきに， $X$ 上うえの可逆かぎゃく層そうの同型どうけい類るいたち自身じしんがテンソル積せきの下したでアーベル群ぐんをなす．この群ぐんはイデアル類るい群ぐんを一般いっぱん化かする．一般いっぱんにそれは， $Pic$ をピカール関せき手しゅ（英語えいご版ばん）として

\mathrm {Pic} (X)\

と書かかれる．それは代数だいすう曲線きょくせんのヤコビ多様たよう体たいの理論りろんも含ふくんでいるから，この関せき手しゅの研究けんきゅうは代数だいすう幾何きか学がくにおいて主要しゅような問題もんだいである．

$X$ 上うえのデータによる可逆かぎゃく層そうの直接ちょくせつ構成こうせいはカルティエ因子いんしの概念がいねんを導みちびく．

参考さんこう文献ぶんけん

Section 0.5.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. MR 0217083.

定義ていぎ

ピカール群ぐん

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