違ちがいを除のぞいて

数学すうがくの文脈ぶんみゃくにおける「—（の違ちがい）を除のぞいて…」 (のちがいをのぞいて、… "up to" —) という語句ごくは、「— に関かんする差異さいを無視むしする」ことを意味いみする専門せんもん用語ようごである。このい回いまわしの意味いみするところは、「適当てきとうな目的もくてきのもとでは、あるひとつの同値どうち類るいに属ぞくする元もと全体ぜんたいを、何なにか単一たんいつの実体じったいを表あらわすものとみなせる」ということである。"—" の部分ぶぶんには、何なんらかの性質せいしつや、同おなじ同値どうち類るいに属ぞくする元もと(つまり一方いっぽうは他方たほうに同値どうちとなるような元もと)の間あいだの変換へんかんの過程かていを記述きじゅつする内容ないようが入はいる。

たとえば不定ふてい積分せきぶんを計算けいさんするとき、その結果けっかは「定数ていすう項こうの違ちがいを除のぞいて」 f (x) であるというように言いうことができる。その意味いみは、f (x) 以外いがいに不定ふてい積分せきぶん g(x) があったとしても g(x) = f (x) + C (C は定数ていすう)と書かくことができ、その後ごの論理ろんり展開てんかいにおいて f のかわりに g を用もちいても影響えいきょうがないことを示唆しさしている。また例たとえば群論ぐんろんで、群ぐん G が集合しゅうごう X に作用さようするとき、X のふたつの元もとが同おなじ軌道きどうに属ぞくするならば、それらは「群ぐん作用さようの違ちがいを除のぞいて」同値どうちであるとい表いあらわすことができる。

注ちゅう: 少すこし砕くだけたい方いかたということにはなるが、同おなじ目的もくてきで「— で割わって」「— を法ほうとして」(modulo —, mod —) とい回いまわすこともよく行おこなわれる。以下いかに挙あげる例れいであれば、「位い数すう 4 の群ぐんは同型どうけいで割われれば（mod 同型どうけいで）2種類しゅるいである」とか、「クイーンの名前なまえを法ほうとして92個この解かいがある」といった具合ぐあいである。このい回いまわしは合同ごうどう算術さんじゅつにおける「7 と 11 とは 4 を法ほうとして(あるいは 4 で割わった余あまりが)等ひとしい」というような構文こうぶんの流用りゅうようである（もちろん、き手きてがこういった略式りゃくしきの数学すうがく用語ようごに慣なれていることが前提ぜんてい）。

例れい

卑近ひきんな例れい

テトリス

簡単かんたんな例れいとしては、「回転かいてんの違ちがいを除のぞけば全部ぜんぶで 7種類しゅるいの反射はんしゃ型がたテトロミノが存在そんざいする」という文ぶんがある。これはテトロミノ (隣接りんせつする正方形せいほうけい同士どうしが必かならずひとつの辺あたりを共有きょうゆうするように 単位たんい正方形せいほうけいを4つ並ならべてできる図形ずけい、いわゆるテトリスのピース) の配置はいちに七ななつの可能かのう性せい (box, I, L, J, T, S, Z) があることを表あらわしている。更さらに「回転かいてんと鏡かがみ映うつの違ちがいを除のぞいて、テトロミノは5種類しゅるいである」ということもできる。これは七なな種類しゅるいのテトロミノのうち、L 字じの形かたちのものと J 字じの形かたちのもの、また S 字じのものと Z 字じのものは、それぞれ鏡きょう映うつ対称たいしょうであることを考慮こうりょした結果けっかである。ゲームのテトリスでは反転はんてん(鏡かがみ映うつ)操作そうさは許ゆるされていないので、最初さいしょにあげた 7種類しゅるいのテトロミノを考かんがえるほうが自然しぜんである。

なお、回転かいてんなどの操作そうさを行おこなわずにすべて数かぞえつくす場合ばあいも考かんがえると、（正式せいしきない方いかたというものはないが）「反射はんしゃ型がたテトロミノは回転かいてんを除のぞいて7種類しゅるい（総計そうけいで19種類しゅるい）である」というようない方いかたがされることがよくある。この場合ばあい、単純たんじゅんに考かんがえれば7種しゅのピース掛かける4種類しゅるいの回転かいてんで28種類しゅるいとなりそうなものだが、ピースの中なかには回転かいてんしても異ことなる状態じょうたいが4種類しゅるいよりも少すくないものがある（たとえばboxなどは明あきらかに回転かいてん不変ふへんである）ので実際じっさいにはそうはなっていない（テトリスはこの問題もんだいを考かんがえるにあたって素晴すばらしいツールとなる）。

エイトクイーン

エイトクイーンパズルでは、8つのクイーンが（名前なまえをつけるなどして）それぞれ別べつのものと考かんがえることができるならば 3 709 440 個この異ことなる解かいがある。しかし通常つうじょうは8つのクイーンはすべて同おなじものと考かんがえるので「クイーンを入いれ替かえる違ちがいを除のぞいて、独立どくりつな解かいは 92 (= 3 709 440/8!) 個こである」ということができる。ここでは異ことなる配置はいちが、チェス盤ばんの向むきはそのまま動うごかさず、クイーン全体ぜんたいとしての配置はいちも変かわらずにクイーン同士どうしで入いれ替かえを行おこなったものになっているとき、それらの配置はいちが同値どうちであるものとすることになっている。

クイーンを同一どういつ視しすることに加くわえて、チェス盤ばんの回転かいてんと反転はんてんをも許ゆるすことにすれば、一方いっぽうが他方たほうの対称たいしょう変換へんかんになっている配置はいちは同値どうちであると考かんがえて「対称たいしょう変換へんかんの違ちがいを除のぞけば解かいは12個こしかない」ということができる。

より数学すうがく的てきな例れい

小しょう位い数すうの群ぐんの分類ぶんるい

群論ぐんろんにおける文脈ぶんみゃくで「同型どうけいの違ちがいを除のぞいて位くらい数すう 4 の群ぐんは二に種類しゅるいである」と述のべることがある。その意味いみは、群ぐんが互たがいに同型どうけいであるときにそれらが同値どうちである、と考かんがえたときの同値どうち類るい（つまり同型どうけい類るい）が2つあるということである。

圏けん論ろんと普遍ふへん性せい

圏けん論ろんでは対象たいしょうの関係かんけい性せいが問題もんだいにされ、一般いっぱんには二ふたつの対象たいしょうが同一どういつであることを示しめすことは必かならずしも必要ひつようでないし、望のぞめないことも多おおい(本当ほんとうに同一どういつであることを課かす厳密げんみつ圏けんという概念がいねんもある)。よって、積せきや始はじめ対象たいしょうのように圏けん論ろんで重要じゅうような概念がいねんは、それが二ふたつ存在そんざいすればそれらは同型どうけい、い換いかえると「同型どうけいを除のぞいて一意いちいに存在そんざいする」と表現ひょうげんできることが多おおい。

幾何きか学がく的てき対象たいしょう

位相いそう幾何きか学がくでは、ある幾何きか的てき対象たいしょうが複数ふくすうの表示ひょうじや定式ていしき化かを持もつ(結むすび目めはその顕著けんちょな例れい)ことが多おおい。幾何きか的てきな操作そうさ(たとえば球面きゅうめんへのハンドルの追加ついか)が対象たいしょうの表示ひょうじや操作そうさを施ほどこす位置いちに依存いぞんしていてもその結果けっかは全すべて位相いそう同型どうけいになることがある。このようなとき、問題もんだいの幾何きか的てきな操作そうさは「同相どうしょうの違ちがいを除のぞいて」一意いちいに定さだまるという。

関連かんれん項目こうもく

• 合同ごうどう算術さんじゅつ：「—を法ほうとして」「—の差さを除のぞいて」「modulo —」
• 商しょう集合しゅうごう：「—を同一どういつ視しして」「同値どうちの違ちがいを無視むしして」「同値どうち関係かんけいで割わって」
• 提ひさげ喩たとえ：上位じょうい概念がいねんを適当てきとうな下位かい概念がいねんで代表だいひょうさせて表あらわす比喩ひゆ表現ひょうげん

参考さんこう文献ぶんけん

• 佐藤さとう文広ふみひろ『数学すうがくビギナーズマニュアル』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、1994年ねん ISBN 978-4535782082 - 数学すうがくにおける特殊とくしゅない回いまわしのひとつとして「…を除のぞいて一意的いちいてき」という表現ひょうげんを初はつ学者がくしゃ向むけに解説かいせつしている