文様もんよう群ぐん

文様もんよう群ぐん（もんようぐん、英えい: wallpaper group）もしくは壁紙かべがみ群ぐん（かべがみぐん）は、パターンの対称たいしょう性せいに基もとづく、2次元じげん内うちでの繰くり返かえしパターンに関かんする数学すうがく的てきな分類ぶんるいである。このようなパターンは、建築けんちくや美術びじゅつで頻繁ひんぱんに使用しようされ、そのパターンは17種しゅに大別たいべつされる。

歴史れきし

1891年ねんにEvgraf Fedorovによって、2次元じげん空間くうかん内ないでの繰くり返かえしパターンが17種しゅに大別たいべつされることの証明しょうめいが試こころみられ、1924年ねんGeorge Pólyaによって証明しょうめいされた。

卜部うらべ東ひがし介かい（1953–2011、当時とうじ茨城大学いばらきだいがく）が、2002年ねんに 利根とね安見子あみこ、近藤こんどう誠まこと造づくり（京都府立大学きょうとふりつだいがく）の協力きょうりょくのもと、日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようには17種類しゅるいの文様もんよう群ぐんすべてが含ふくまれていることをインターネット上じょうに発表はっぴょうした。[1]

導入どうにゅう

文様もんよう群ぐんは、対称たいしょう性せいによるパターン分類ぶんるいであるため、色いろ・形状けいじょう・サイズが大おおきく違ちがう場合ばあいでも、同おなじグループに分類ぶんるいされる。

対称たいしょう性せい

17種しゅのパターンは対称たいしょう性せいの組くみ合あわせからなっている。

• 並進へいしん対称たいしょう性せい：Translations
• 回転かいてん（60°、 90°、120°、180°）：Rotations
• 鏡かがみ映うつ（鏡かがみ像ぞう対称たいしょう性せい）：mirror isometries
• 映うつ進すすむ（並進へいしんと鏡かがみ映うつの組くみ合あわせ）：Glide reflections

文様もんよう群ぐんの表記ひょうき

結晶けっしょう学がく記法きほう

結晶けっしょうは3次元じげん空間くうかんの空間くうかん群ぐんで属ぞくするが、2次元じげんの文様もんよう群ぐんを表記ひょうきすることは可能かのうである。

• 基本きほん胞（primitive cell）の場合ばあいP、中心ちゅうしん胞 (centered cell) の場合ばあいはCが頭文字かしらもじとなる。
• 回転かいてん対称たいしょう数かず：360°/n 回かい
• 鏡かがみ映うつ：鏡かがみ映うつ対称たいしょう性せいが組くみ合あわさった場合ばあいは、mirror isometriesからm、鏡かがみ映うつしていない場合ばあいは1（もしくは省略しょうりゃく）
• 映うつ進すすむ：映うつ進すすむ対称たいしょう性せいが組くみ合あわさった場合ばあいは、Glide reflectionsからg、映うつ進すすむしていない場合ばあいは1（もしくは省略しょうりゃく）

例れい

• p2 (p211): 基本きほん胞、回転かいてん対称たいしょう2、鏡かがみ映うつ・映うつ進すすむ無なし
• c2mm: 中心ちゅうしん胞、回転かいてん対称たいしょう2、主軸しゅじくと垂直すいちょくの軸じくで鏡かがみ映うつ
• p31m: 基本きほん胞、回転かいてん対称たいしょう3、鏡かがみ軸じくは60°の鏡かがみ映うつ

オービフォルド記法きほう

詳細しょうさいは「オービフォルド記法きほう」を参照さんしょう

17種しゅの文様もんよう群ぐん

記号きごう説明せつめい

• ひし形がたは 180° (= 360°/ 2) の回転かいてん中心ちゅうしん
• 三角形さんかっけいは、120° (= 360°/3) の回転かいてん中心ちゅうしん
• 正方形せいほうけいは、90° (= 360°/4) の回転かいてん中心ちゅうしん
• 六角形ろっかっけいは、60° (= 360°/6) の回転かいてん中心ちゅうしん
• 太ふとい線せんは鏡かがみ映うつ軸じく
• 鏡かがみ映うつと並進へいしんを組くみ合あわせた映うつ進すすむ軸じく
• 黄色きいろい領域りょういきは、基本きほんパターンである。

p1群ぐん

P1群ぐんは、並進へいしんのみの連続れんぞくパターンで、その他たの回転かいてんなどは含ふくまない。

• オービフォルド記法きほう：o
• 点てん群ぐん: C1

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜雲くも立りつ涌＞

p2群ぐん

• オービフォルド記法きほう：2222
• 点てん群ぐん: C2

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜子持こもち吉原よしはら＞

pm群ぐん

• オービフォルド記法きほう：**
• 点てん群ぐん: D1

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜桐きり立りつ涌＞

pg群ぐん

• オービフォルド記法きほう：××
• 点てん群ぐん: D1

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜鎌かま輪わぬ＞

cm群ぐん

• オービフォルド記法きほう：*×
• 点てん群ぐん: D1

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜青海あおみ波なみ＞

p2mm群ぐん

• オービフォルド記法きほう：*2222
• 点てん群ぐん: D2

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜両りょう滝たき縞しま＞

p2mg群ぐん

• オービフォルド記法きほう：22*
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜山路やまじ文あや＞

p2gg群ぐん

• オービフォルド記法きほう：22×
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜紗綾さや形がた＞

c2mm群ぐん

• オービフォルド記法きほう：2*22
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜松まつ皮がわ菱ひし＞

p4群ぐん

• オービフォルド記法きほう：442
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜角かく繋つなぎ＞

p4mm群ぐん

• オービフォルド記法きほう：*442
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜市松いちまつ＞

p4mg群ぐん

• オービフォルド記法きほう：4*2
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜五ご崩くずし＞

p3群ぐん

• オービフォルド記法きほう：333
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜鶴づる亀甲きっこう＞

p3m1群ぐん

• オービフォルド記法きほう：*333
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜毘沙門びしゃもん亀甲きっこう＞

p31m群ぐん

• オービフォルド記法きほう：3*3
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜毘沙門びしゃもん亀甲きっこう２＞

p6群ぐん

• オービフォルド記法きほう：632
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜六むっつ手しゅ卍まんじ＞

p6mm群ぐん

• オービフォルド記法きほう：*632
• 点てん群ぐん:

日本にっぽんの伝統でんとう文様もんようにおける代表だいひょう例れい＜麻あさの葉は＞

さらなる学習がくしゅう用ようの図書としょ

• 難波なんば誠まこと:「合同ごうどう変換へんかんの幾何きか学がく」、現代げんだい数学すうがく社しゃ、ISBN 978-4-7687-0633-6 (2024年ねん4月がつ21日にち）。
• 河野こうの俊しゅん丈たけ：「結晶けっしょう群ぐん」、共立きょうりつ講座こうざ 数学すうがく探検たんけん 7、ISBN 978-4320111806 (2015年ねん6月がつ25日にち)。
• 岩いわ堀ほり長慶ちょうけい：「復刻ふっこく版ばん　初はつ学者がくしゃのための合同ごうどう変換へんかん群ぐんの話はなし」、現代げんだい数学すうがく社しゃ、 ISBN 978-4768705322 （2020年ねん4月がつ23日にち）。

関連かんれん項目こうもく

• 平面へいめん充填じゅうてん
  • タイル張はり
  • アインシュタイン・タイル(アインシュタイン問題もんだい) - 同おなじパターンを繰くり返かえさないで平面へいめんを充填じゅうてんする数学すうがく的てきな問題もんだい。
• 群ぐん (数学すうがく)
• 群論ぐんろん
• 点てん群ぐん
• 層そう群ぐん
• 空間くうかん群ぐん
• 結晶けっしょう学がく
• マウリッツ・エッシャー
• ホラーヴァキュイ (芸術げいじゅつ)(空間くうかん畏怖いふ) - 古来こらいから空白くうはくなく文様もんようを充填じゅうてんさせるのは、空虚くうきょ感かんへの恐怖きょうふからくるものだと美術びじゅつ史家しかが指摘してきしている。名称めいしょうは、哲学てつがく者しゃアリストテレスのホラーヴァキュイ (物理ぶつり学がく)から。