立方りっぽう陣じん

立方りっぽう陣じんとは、n×nの魔ま方陣ほうじんをn段だん重かさねたn×n×nの立方体りっぽうたいについて、上下じょうげ・左右さゆう・前後ぜんご・斜ななめのいずれの列れつについても、その列れつの数字すうじの合計ごうけいが同おなじになるもののことである。特とくに1から立方りっぽう陣じんのマスの総数そうすうまでの数字すうじを1つずつ過不足かふそくなく使つかったものを言いう。英語えいごでは魔ま方陣ほうじん:magic squareに対たいして、magic cube と呼よばれる。

このときの一いち列れつの和わは、

${\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n^{3}}i={\frac {n(n^{3}+1)}{2}}$

と計算けいさんできる。

立体りったいでは、斜ななめ方向ほうこうにあたる方向ほうこうについて、表面ひょうめんに平行へいこうな面めんの正方形せいほうけいの対たい角かく方向ほうこう成分せいぶんおよび、立体りったい的てきに中心ちゅうしんを通とおって反対はんたい頂点ちょうてんに向むかう対たい角かく方向ほうこう成分せいぶんとある。n=3およびn=4では、完全かんぜんにその全すべてを揃そろえることができず、一方いっぽうのみ合計ごうけいを揃そろえたものが作つくれる。

3×3×3の（準じゅん）立方りっぽう陣じん

1×1×1の立方りっぽう陣じんは明あきらかであり、2×2×2の立方りっぽう陣じんは存在そんざいしない。3×3×3では、上下じょうげ左右さゆう前後ぜんこうの立体りったいの辺あたりに平行へいこうな方向ほうこうと、立体りったいの中心ちゅうしんを通とおる対角線たいかくせん上じょうの合計ごうけいを揃そろえた立方りっぽう陣じんが存在そんざいする。

4×4×4の（準じゅん）立方りっぽう陣じん

4×4×4では、表面ひょうめんに平行へいこうな面めんの対たい角かく成分せいぶん　または、中心ちゅうしんを通とおって反対はんたい頂点ちょうてんに向むかう4本ほんの対たい角かく成分せいぶんの、どちらかの合計ごうけいを、他たの辺あたりに平行へいこうな成分せいぶんの合計ごうけいと一致いっちさせたものが存在そんざいする。

5×5×5 および 6×6×6の立方りっぽう陣じん

ながらくこの存在そんざいは不明ふめいだったが、コンピュータを使つかって全すべての対たい角かく成分せいぶんも含ふくめて1列れつに並ならぶ数字すうじの合計ごうけいが等ひとしくなる立方りっぽう陣じんが2003年ねんにTrumpらによって発見はっけんされた。

7×7×7の立方りっぽう陣じん

7が素数そすうであることから、比較的ひかくてき容易よういに作つくれる。1866年ねんにA.Hフロストが発表はっぴょうしている。

8×8×8の立方りっぽう陣じん

4の整数せいすう倍ばいで、2の冪べき乗じょうでもあることから、比較的ひかくてき容易よういに作つくれる。

一いち辺へんの大おおきさが十分じゅうぶん大おおきい素数そすうnからなるn×n×n立方りっぽう陣じん

nが素数そすうであることから、大おおきさn×n×nのラテン方陣ほうじんの立体りったい版ばんを容易よういにつくることができる。 このラテン立方りっぽう陣じん3個こを組くみ合あわせてn進数しんすう3桁けたからなる立方りっぽう陣じんを作つくることができる。　以下いかにその例れいを示しめす。

n>7　つまりn=11以上いじょうの素数そすうで

例たとえば　x軸じく方向ほうこうに+1、y軸じく方向ほうこうに+2、z軸じく方向ほうこうに+4ずつずらして数字すうじを配置はいちすると

L[x][y][z] ≡ x+2*y+4*z （mod n)　と置おくと 3次元じげん配列はいれつL[x][y][z]（0≦x,y,z＜n）では

x軸じく方向ほうこう、y軸じく方向ほうこう、z軸じく方向ほうこう　および、対角線たいかくせん方向ほうこうとしてのx±y方向ほうこう、y±z方向ほうこう、z±x方向ほうこう、立体りったい的てきな対たい角かく方向ほうこう　x±y±z方向ほうこうの26方向ほうこういずれにおいても0からn-1までの数字すうじが1列れつに並ならぶ。なぜならば、 αあるふぁ、βべーた、γがんまに0または±1を代入だいにゅうしたときαあるふぁ+2*βべーた+4*γがんまは全部ぜんぶが0でない限かぎり±1から±7までのいずれかの値ねをとり素数そすうnとは、素もとの関係かんけいになるからである。

ある(x,y,z)位置いちでの値ねL[x][y][z]と,その隣接りんせつ位置いちにあるL[x+αあるふぁ][y+βべーた][z+γがんま]との差さは0でなくnと素もとの値ねだけの増減ぞうげんとなり、その(αあるふぁ,βべーた,γがんま）方向ほうこうにn個こ連続れんぞくする範囲はんいには、nの剰余じょうよ系けいにつき0からn-1まで数字すうじがすべて並ならぶこととなり、n個この数字すうじの合計ごうけいは、どの方向ほうこうでも定てい和わをとる立体りったいのラテン方陣ほうじんができあがる。

これをn進数しんすう3桁けたの数字すうじの組くみ合あわせを考かんがえた場合ばあいも同様どうようで、次つぎのように3次元じげん配列はいれつを定義ていぎするとこれは立方りっぽう陣じんとなる。

C[x][y][z] = n*n*MOD(x+2*y+4*z, n) + n*MOD( 2*x+4*y+z, n) + MOD( 4*x+y+2*z, n) +1 

ここで（0≦x,y,z＜n）、MOD(r,p)は剰余じょうよ関数かんすうすなわちrをpで割わった余あまりを示しめす。

同様どうように4軸じく目め以上いじょうに +8、+16、....という具合ぐあいに増分ぞうぶんを与あたえるようにして4次元じげん以上いじょうの　超ちょう立方体りっぽうたいの魔ま方陣ほうじんをつくることができる。

例たとえば、n＞15 つまり　n=17以上いじょうの素数そすうにおいて、4次元じげん魔ま方陣ほうじんは

T[x][y][z][w] = 
n*n*n*MOD(   x+2*y+4*z+8*w , n)
+ n*n*MOD( 2*x+4*y+8*z+  w , n)
+   n*MOD( 4*x+8*y+  z+2*w , n)
+     MOD( 8*x+  y+2*z+4*w , n)
+ 1

という具合ぐあいに作つくることができて、任意にんいの次元じげんでの多次元たじげん魔ま方陣ほうじんをつくることができる。