결정학적 점군
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수학과 결정학에서 결정학적 점군(
정의[편집]
일반적인 점군은 그 개수가 무한하다. 그러나 준결정이 아닌 결정 구조에서는 결정학적 제한 정리(crystallographical restriction theorem)에 따라 점군이 포함할 수 있는 회전 변환이 제한된다. 라디안 회전의 경우, 오직 만이 가능하다. 이 조건을 만족하는 점군의 개수는 유한하며, 이들을 결정학적 점군이라고 한다. (다만, 준결정에서는 회전 대칭이 가능하다.)
점군 표기법[편집]
흔히 쓰이는 점군의 표기법에는 크게 두 가지가 있다. 하나는 쇤플리스 표기법(Schoenflies notation)이고, 다른 하나는 헤르만-모갱 표기법(Hermann–Mauguin notation)이다. 이 밖에도 콕세터 표기법(Coxeter notation)이나 오비폴드 표기법(orbifold notation) 등이 있다.
쇤플리스 표기법[편집]
쇤플리스 표기법(Schoenflies notation)은 독일의 아르투어 모리츠 쇤플리스(Arthur Moritz Schoenflies)가 도입하였다.[1] 보통 화학에서 쓰인다. 쇤플리스 표기법은 아래에 문자나 숫자가 기입된 하나의 문자로 표현한다. 각 기호의 의미는 다음과 같다.
- O는 정육면체 또는 정팔면체의 대칭군이다. (독일어: Oktaeder 정팔면체) 반사 대칭을 포함할 경우에는 Oh로, 포함하지 않는 경우에는 O로 쓴다.
- T는 정사면체의 대칭군이다. (독일어: Tetraeder 정사면체) 모든 반사 대칭을 포함할 경우에는 Td로, 모든 반사 대칭을 포함하지는 않지만 반전(inversion) 대칭을 포함하는 경우는 Th로, 그 어떤 반사 및 반전 대칭도 포함하지 않는 경우에는 T로 쓴다.
- Cn ()은 순환군이다. (영어: cyclic 순환군) 첨자 은 라디안 회전 변환을 포함함을 뜻한다. 여기에 회전축에 수직인 반사 대칭을 포함하는 경우에는 Cnh로, 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우에는 Cnv로, 어떤 반사 대칭도 포함하지 않는 경우에는 Cn으로 쓴다.
- C1은 아무 대칭을 포함하지 않는 자명군이다.
- C1h와 C1v는 같은 군이며, 하나의 반사 대칭만을 포함하는, 크기가 2인 군이다. 이 군은 간혹 Cs로 쓰기도 한다.
- Sn ()은 라디안 회전반사 대칭에 의하여 생성되는 순환군이다. (독일어: Spiegel 거울) 즉, 라디안 회전과 회전축에 대하여 수직인 반사면에 대한 반사 대칭의 합성에 의하여 생성된다.
- S2는 반전 대칭(= 180도 회전반사 대칭)만을 포함하는, 크기가 2인 군이다. 이는 간혹 Ci로 쓰기도 한다.
- S6은 60도 회전반사 대칭만을 포함하는, 크기가 6인 군이다. 이는 간혹 C3i로 쓰기도 한다.
- Dn ()은 라디안 회전 대칭을 포함하는 정이면체군이다. (독일어: Dieder 정이면체군) 여기에 회전축에 수직한 반사 대칭을 포함하는 경우는 Dnh로, 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우는 Dnv로, 반사 대칭을 포함하지 않는 경우는 Dn로 쓴다. 다만, D4d와 D6d는 불가능하다.
헤르만-모갱 표기법[편집]
헤르만-모갱 표기법(Hermann–Mauguin notation)은 공간군의 표기법이지만, 점군의 표기에도 사용할 수 있다. 헤르만-모갱 표기법은 독일의 카를 헤르만(Carl H. Hermann)과 프랑스의 샤를빅토르 모갱(Charles-Victor Mauguin)이 도입하였다. 헤르만-모갱 표기법은 보통 결정학에서 쓰인다.
이 표기법에 따른 각 점군의 표현은 각각
- 1, 1
- 2, m, 2⁄m
- 222, mm2, mmm
- 4,4, 4⁄m, 422, 4mm, 42m, 4⁄mmm
- 3, 3, 32, 3m, 3m
- 6, 6, 6⁄m, 622, 6mm, 62m, 6⁄mmm
- 23, m3, 432, 43m, m3m
이다.
3차원 결정군 목록[편집]
3차원에서는 총 32개의 결정학적 점군이 존재한다. 이들은 다음과 같다.
결정계 | 점군 / 결정족 | 쇤플리스 | 헤르만-모갱 | 오비폴드 | 유형 |
---|---|---|---|---|---|
삼사정계 | triclinic-pedial | C1 | 1 | 11 | enantiomorphic polar |
triclinic-pinacoidal | Ci | 1x | centrosymmetric | ||
단사정계 | monoclinic-sphenoidal | C2 | 2 | 22 | enantiomorphic polar |
monoclinic-domatic | Cs | 1* | polar | ||
monoclinic-prismatic | C2h | 2* | centrosymmetric | ||
사방정계 | orthorhombic-sphenoidal | D2 | 222 | 222 | enantiomorphic |
orthorhombic-pyramidal | C2v | *22 | polar | ||
orthorhombic-bipyramidal | D2h | *222 | centrosymmetric | ||
정방정계 | tetragonal-pyramidal | C4 | 4 | 44 | enantiomorphic polar |
tetragonal-disphenoidial | S4 | 2x | |||
tetragonal-dipyramidal | C4h | 4* | centrosymmetric | ||
tetragonal-trapezoidal | D4 | 422 | 422 | enantiomorphic | |
ditetragonal-pyramidal | C4v | *44 | polar | ||
tetragonal-scalenoidal | D2d | or | 2*2 | ||
ditetragonal-dipyramidal | D4h | *422 | centrosymmetric | ||
삼방정계 | trigonal-pyramidal | C3 | 3 | 33 | enantiomorphic polar |
rhombohedral | S6 (C3i) | 3x | centrosymmetric | ||
trigonal-trapezoidal | D3 | 32 or 321 or 312 | 322 | enantiomorphic | |
ditrigonal-pyramidal | C3v | or or | *33 | polar | |
ditrigonal-scalahedral | D3d | or or | 2*3 | centrosymmetric | |
육방정계 | hexagonal-pyramidal | C6 | 6 | 66 | enantiomorphic polar |
trigonal-dipyramidal | C3h | 3* | |||
hexagonal-dipyramidal | C6h | 6* | centrosymmetric | ||
hexagonal-trapezoidal | D6 | 622 | 622 | enantiomorphic | |
dihexagonal-pyramidal | C6v | *66 | polar | ||
ditrigonal-dipyramidal | D3h | or | *322 | ||
dihexagonal-dipyramidal | D6h | *622 | centrosymmetric | ||
입방정계 | tetartoidal | T | 23 | 332 | enantiomorphic |
diploidal | Th | 3*2 | centrosymmetric | ||
gyroidal | O | 432 | 432 | enantiomorphic | |
tetrahedral | Td | *332 | |||
hexoctahedral | Oh | *432 | centrosymmetric |
각주[편집]
- ↑ Ewald, P. P. (1962). 《Fifty Years of X-Ray Diffraction》 (PDF). 351–353쪽.
- Wondratschek, Hans (2006). 〈8.1 Basic concepts〉. 《International Tables for Crystallography A》. 720–725쪽. doi:10.1107/97809553602060000514. ISBN 978-0-7923-6590-7.