오일러 삼각형 정리와 그에 필요한 보조선, 보조점들
기하학에서 오일러 삼각형 정리(Euler三角形定理, 영어: Euler's triangle theorem)는 삼각형의 외심과 내심 사이의 거리를 외접원과 내접원의 반지름을 통해 나타내는 정리이다.
주어진 삼각형의 외접원의 반지름을
, 내접원의 반지름을
라고 하고, 외심과 내심 사이의 거리를
라고 하자. 오일러 삼각형 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f800c5d9c4acd79586d1a7482b10b5ed9f2eb9a4)
특히, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
![{\displaystyle R\geq 2r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e084ca17a1f39004eac9b657c3d68c9ec60dfb)
이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 정삼각형이다.
삼각형
의 외심을
, 내심을
라고 하고,
를 지나는 외접원의 지름을
라고 하자.
의 이등분선의 연장선과 외접원의 교점을
이라고 하고,
의 연장선과 외접원의 교점을
라고 하자.
를 지나는
의 수선의 발을
라고 하자. 그렇다면 방멱 정리에 의하여
![{\displaystyle AI\cdot IM=XI\cdot YI=(R-d)(R+d)=R^{2}-d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8a8ba7f2774f0e244e699f976248db3e48ae31)
이며, 또한 맨션 정리에 의하여
이다. 삼각형
와
을 생각할 때, 호
의 원주각의 성질에 의하여
![{\displaystyle \angle BDM=\angle BAM=\angle EAI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3f414715ede1a7262567ccb9b983dcfd86c9b2)
이고,
은 지름이므로
![{\displaystyle \angle DBM=90^{\circ }=\angle AEI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f39af4a66c4ac1b3ec5e56e490fcbba57f4475f)
이다. 따라서 이 두 삼각형은 서로 닮음이며, 특히
![{\displaystyle AI\cdot BM=DM\cdot EI=2Rr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25330e926c4527f9b587d9b0d3a713544e623d5)
가 성립한다. 이 결과들을 연립하면
![{\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c698ff611112c573a6a5748af700234e25f7f29)
를 얻는다.
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