이등변 삼각형
기하학에서 이등변 삼각형(
정의
[편집]삼각형의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 이등변 삼각형이라고 한다. 이등변 삼각형의 길이가 같은 두 변을 등변(
성질
[편집]밑변이 인 이등변 삼각형 의 다음과 같은 직선들은 서로 일치한다.
증명:
각 의 이등분선 가 와 에서 만난다고 하자. 그렇다면
이므로, 삼각형 와 는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, 이며, 또한
이다. 즉, 는 변 의 수직 이등분선이며, 따라서 는 삼각형 의 중선이자 변 의 수선이다.
삼각형 의 밑변의 길이가 라고 하고 두 등변의 길이가 라고 할 때, 이 직선의 삼각형 내부에 포함된 부분의 길이는
이다.[1]:71, §2D
밑각
[편집]삼각형 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:7, §1B; 10, Exercise 1B.1
즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제를 당나귀의 다리라고 부르기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다.
증명:
증명:[1]:10, §1B
우선 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
이므로, 삼각형 와 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, 가 성립한다.
이제 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
이므로, 삼각형 와 는 ASA 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, 가 성립한다.
높이
[편집]삼각형 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:10, Exercise 1B.6, 1B.7; 20, §1E
- 를 지나는 의 수선 가 와 에서 만난다고 하고, 점 를 지나는 의 수선 가 와 에서 만난다고 할 때, 이다.
즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 이 두 대변의 길이는 같다.
증명:
우선 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
이므로, 삼각형 와 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, 가 성립한다.
이제 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
이므로, 삼각형 와 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, 가 성립한다.
중선
[편집]삼각형 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:10, Exercise 1B.4; 52, §2B, Problem 2.8
- 변 의 중점이 라고 하고, 변 의 중점이 라고 할 때, 이다.
즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.
증명:
우선 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
이므로, 삼각형 와 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, 가 성립한다.
이제 가 성립한다고 가정하자. 와 의 교점이 라고 하자. 그렇다면 는 삼각형 의 무게 중심이므로, 이고 이다. 따라서
이므로, 삼각형 와 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, 이다. 따라서
이므로, 삼각형 와 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, 가 성립한다.
각의 이등분선
[편집]슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:10, Exercise 1B.5; 70, §2D, Problem 2.21
- 각 의 이등분선 가 와 에서 만난다고 하고, 각 의 이등분선 가 와 에서 만난다고 할 때, 이다.
즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.
증명:
각의 이등분선의 길이의 제곱은
이다. 따라서 만약 라면 이고, 만약 라면 이고, 만약 라면 이다.
각주
[편집]외부 링크
[편집]- Weisstein, Eric Wolfgang. “Isosceles triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.