친화수
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친화수(
덧붙여, 자기 자신의 진약수의 합이 자기 자신이 되는 수를 완전수라고 한다. 또한 서로 다른 3개 이상의 수에 대하여 약수의 합이 처음 수로 다시 되돌아오는 수들을 사교수라고 한다.^^
쌍 개수
[편집]친화수의 쌍이 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 현재까지 알려진 친화수는 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수인 경우뿐이다. 홀수와 짝수로 이뤄진 친화수가 존재하는지 여부에 대해서는 알려져있지 않다. 또한 알려진 친화수는 서로 공통의 약수를 가진다. 서로소인 친화수가 존재하는지는 알려져있지 않으나, 만약 존재한다면 최소한 그 두 수의 곱이 1067보다는 커야 한다?
역사
[편집]친화수는 피타고라스 학파 시대에 이미 알려져 있었다. 9세기에 이탈리아의 수학자 사빗 이븐 쿠라(826년 ~ 901년)에 의해 친화수를 구할 수 있는 관계식이 도출되었다.[1]:
- p = 3×2n − 1 − 1,
- q = 3×2n − 1,
- r = 9×22n − 1 − 1,
여기서, n ≥ 2의 정수이고, p, q, r이 소수인 p, q, r, n이 존재할 때、 2n×p×q와 2n×r은 친화수의 관계에 있다. 이 식은 모든 친화수의 짝에 대하여 성립하지는 않는다. 예를 들어, 친화수 n = 2일 때 (220, 284)이고, n = 4일 때 (17296, 18416)이고, n = 7일 때 (9363584, 9437056)은 이 관계식을 만족하지만, (6232, 6368)은 친화수임에도 이 관계식을 만족하지 않는다.
(220, 284) 다음에 구해진 친화수는 (17296, 18416)이다. 이 친화수는 그 이전에도 구해져 있었지만, 피에르 드 페르마에 의해 재발견되었다. 그 후, 레온하르트 오일러에 의해 60개 정도의 친화수가 구해졌다.[2][3]
1946년에는 390쌍의 알려진 쌍이 있었지만, 컴퓨터의 발달로 그 이후에 수천 쌍이 발견되었다. 주어진 범위보다 적은 모든 쌍을 찾기 위해 수행했으며, 이 범위는 1970년에 108에서 1986년에 1010, 1993년에는 1011, 2015년에는 1017, 2016년에는 1018로 범위가 확장되었다.
현재까지 알려진 친화수는 2017년 4월 기준으로, 12억 개 이상이다.[4]
온라인 정수열 사전 목록
[편집]처음 친화수 열 쌍이다. (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992). 더 많은 예시는 오른쪽에 있는 링크를 참고면 된다. (OEIS의 수열 A259180)
친화수 쌍에서 작은 수들의 목록은 항상 과잉수로 (OEIS의 수열 A002025)이고, 큰 수들의 목록은 (OEIS의 수열 A002046)이며, 당연히 부족수이다.
같이 보기
[편집]참고 문헌
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- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). 《Handbook of number theory II》. Dordrecht: Kluwer Academic. 32–36쪽. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
- Wells, D. (1987). 《The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers》. London: Penguin Group. 145–147쪽.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Amicable Pair”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. “Thâbit ibn Kurrah Rule”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. “Euler's Rule”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
각주
[편집]- ↑ http://mathworld.wolfram.com/ThabitibnKurrahRule.html
- ↑ Sandifer, C. Edward (2007). 《How Euler Did It》. Mathematical Association of America. 49–55쪽. ISBN 978-0-88385-563-8.
- ↑ See William Dunham in a video: An Evening with Leonhard Euler – YouTube
- ↑ Sergei Chernykh Amicable pairs list
외부 링크
[편집]- 2.01×1011보다 작은 친화수 목록
- M. García; J.M. Pedersen; H.J.J. te Riele (2003년 7월 31일). “Amicable pairs, a survey” (PDF). 《Report MAS-R0307》.
- Grime, James. “220 and 284 (Amicable Numbers)”. 《Numberphile》. Brady Haran. 2017년 7월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 7월 10일에 확인함.