푸앵카레 원판
보이기
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Hyperbolic_domains_642.png/220px-Hyperbolic_domains_642.png)
기하학에서 푸앵카레 원판(영어: Poincaré disc) 또는 푸앵카레 공(영어: Poincaré ball)은 원판 또는 공 모양의 쌍곡공간의 모형이다.
역사
[편집]앙리 푸앵카레의 이름이 붙어 있으나, 사실 에우제니오 벨트라미가 최초로 도입하였다.[1] 벨트라미는 이 모형으로 비유클리드 기하학의 일관성을 증명하였다.
정의
[편집]n차원 푸앵카레 공은 다음과 같은 계량이 주어진 단위 열린 공
이다. 여기에 주어진 리만 계량은 다음과 같다.
구체적으로, 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.
2차원 푸앵카레 공은 푸앵카레 원판이라고 한다.
성질
[편집]쌍곡기하학의 기하학적인 개념들은 푸앵카레 공에서 다음과 같이 구현된다.
쌍곡기하학적 개념 | 푸앵카레 공에서의 구현 |
---|---|
무한대 | 공의 경계 |
측지선 | 공의 경계와 수직으로 교차하는 원호 |
측지선에 대한 반사 | 원에 대한 반전 |
각주
[편집]- ↑ Beltrami, Eugenio (1868). “Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante”. 《Annali. di Mat., ser II》 (이탈리아어) 2: 232-255.
- Anderson, James W. (2005). 《Hyperbolic Geometry》 2판. Springer.
같이 보기
[편집]외부 링크
[편집]- “Poincaré model”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.