結晶けっしょう（読よみ）ケッショウ（英語えいご表記ひょうき）crystal

水晶すいしょうの結晶けっしょうが図ず1に見みられるように六ろく角柱かくちゅうの形かたちをとることはよく知しられている。しかし，結晶けっしょうには必かならずしも，このような規則正きそくただしい外形がいけいをとらないものも多おおく，結晶けっしょうの本質ほんしつは次つぎに述のべるようなそれが示しめす性質せいしつに関連かんれんしている。

　自由じゆうに選えらんだ一ひとつの方向ほうこうにおいての物質ぶっしつのある性質せいしつの測定そくてい値ちが，その物質ぶっしつ中ちゅうのすべての点てんで互たがいに等ひとしいとき，その物質ぶっしつは均質きんしつであるという。その性質せいしつの測定そくてい値ちをベクトルで表あらわせば，物質ぶっしつが均質きんしつであることは図ず2のように示しめされる。物質ぶっしつの内部ないぶの任意にんいの点てんOにおいて，ある性質せいしつの測定そくてい値ち（例たとえば電気でんき伝導でんどう度どの値ね）が，図ず3のaやbのように方向ほうこうによって異ことなるとき，その物質ぶっしつはその性質せいしつについて異あや方かた的てきであるといい，cのようにそれが方向ほうこうに無関係むかんけいに一定いっていしているとき，等ひとし方かた的てきであるという。

　ともに異あや方かた的てきであっても，図ず3のaとbとは互たがいに異ことなる。点てんOにおける測定そくてい値ちのベクトルの先端せんたんの図形ずけいは，aではOの周まわりに180度ど回転かいてんしないと最初さいしょに与あたえられている図形ずけいとは一致いっちしないが，bでは90度ど回転かいてんごとに最初さいしょのものに重かさなる。このように，ある図形ずけい（あるいは物体ぶったい）Xを動うごかして最初さいしょの形かたちに重かさね合あわせることをXの対称たいしょう操作そうさといい，Xのもつすべての対称たいしょう操作そうさの集たかりをXの対称たいしょうsymmetryという。対称たいしょう操作そうさを具体ぐたい的てきに表あらわすものを対称たいしょう要素ようそという。図ず3のaは360度ど回転かいてんの間あいだに2回かい最初さいしょの形かたちに重かさなり，bは4回かい重かさなるので，aの対称たいしょう操作そうさは2回かい回転かいてん，bのそれは4回かい回転かいてん，またO点てんで紙面しめんに垂直すいちょくな軸じくを考かんがえて，aの対称たいしょう要素ようそを2回かい回転かいてん軸じく，bのそれを4回かい回転かいてん軸じくという。以上いじょうに対たいして，図ず3のcの等ひとし方かた的てきな場合ばあいには，測定そくてい値ちの図形ずけいはO軸じくの周まわりに任意にんいの角度かくど回まわせばそれ自身じしんに重かさなるところの円えんだけである。すなわち，対称たいしょうの種類しゅるいが問題もんだいとなるのは，図形ずけいや物体ぶったいが異あや方かた的てきである場合ばあいに限かぎられる。

　均質きんしつな固体こたい物質ぶっしつが図ず4のaのようにある性質せいしつについて異あや方かた的てきであるとき，その物質ぶっしつは結晶けっしょう質しつcrystallineであるといい，あらゆる性質せいしつが図ず4のbのように等ひとし方かた的てきであるとき，その物質ぶっしつは無定形むていけい質しつあるいは非ひ晶あきら質しつ（アモルファスamorphous）であるという。結晶けっしょう質しつの物質ぶっしつの中なかには，ある性質せいしつについては異あや方かた的てきであるが，他たの性質せいしつについては等ひとし方かた的てきであるようなものもある。例たとえば食塩しょくえんNaClの結晶けっしょうは，熱ねつ膨張ぼうちょう率りつについては異あや方かた的てきであるが，その中なかを通とおる光ひかりの速度そくどについては等ひとし方かた的てきである。

　物体ぶったい全体ぜんたいが一様いちように結晶けっしょう質しつである場合ばあい，これを単たん結晶けっしょうと呼よぶ。また，それが小ちいさな単たん結晶けっしょうが多おおく集あつまって，互たがいに不規則ふきそくに向むきを異ことにしてくっつきあっているものを多た結晶けっしょうと呼よぶ。単たん結晶けっしょうの例れいには図ず1のような天然てんねんに産さんする六ろく角柱かくちゅう状じょうの水晶すいしょうSiO₂の結晶けっしょうがある。またダイヤモンドをはじめ，透明とうめいな宝石ほうせきはいずれも単たん結晶けっしょうから切きり出だして磨みがいたものである。多た結晶けっしょうの例れいには，器具きぐ類るいや機械きかい類るいの材質ざいしつである種々しゅじゅの金属きんぞくがある。なお，2個この単たん結晶けっしょうが向むきを異ことにしてくっつきあっていて，その接合せつごうに一定いっていの規則きそく性せいがある場合ばあいがあり，それを双そう晶あきらと呼よぶ。図ず5は向むきあった二ふたつの柱はしら面めんが大おおきくなることによって扁平へんぺいとなった水晶すいしょうの2個この単たん結晶けっしょうの双そう晶あきらである。また無定形むていけい物質ぶっしつの例れいとしてはゴムやガラスがある。さらに，多た結晶けっしょう中ちゅうで単たん結晶けっしょうが連続れんぞく的てきな向むきの変化へんかをもって分布ぶんぷしているものがあり，その代表だいひょう的てきなものには木材もくざいなどの繊維せんい質しつのものがある。以後いご，本ほん項目こうもくにおいて結晶けっしょうという場合ばあいはすべて単たん結晶けっしょうのこととする。

結晶けっしょうの形態けいたい

紀元前きげんぜんのギリシアでは，水晶すいしょうは氷こおりが異常いじょうな低温ていおんに冷ひやされたために，常温じょうおんでも水みずにもどらなくなったものと考かんがえられた。そのために，水晶すいしょうは氷こおり（ギリシア語ごでkrystallos）と同おなじとみられ，これがcrystal（水晶すいしょう，結晶けっしょう）の語源ごげんである。

面めん角かく一定いっていの法則ほうそく

前述ぜんじゅつの水晶すいしょうの結晶けっしょうが六ろく角柱かくちゅうの形かたちをとるように，結晶けっしょうは，平面へいめんで囲かこまれた形かたちをとることができるのがその特徴とくちょうであって，これらの平面へいめんのおのおのを結晶けっしょう面めんという。同おなじ種類しゅるいの結晶けっしょう面めんでも，結晶けっしょうができたときの環境かんきょう次第しだいで，互たがいに異ことなった大おおきさになることがある。しかし，対応たいおうする面めんの間あいだの角度かくどは一定いっていしている。図ず6のように水晶すいしょうの柱はしらに垂直すいちょくな切断せつだん面めんが互たがいに異ことなった形かたちになっていても，隣となりあった面めんの間あいだの角度かくどは，この場合ばあいには120度どと一定いっていしていることが経験けいけん的てきにわかっている。これを面めん角かく一定いっていの法則ほうそく，あるいは面めん角かく不変ふへんの法則ほうそくという。このように，結晶けっしょう形態けいたいにおいて一定いっていに保たもたれるものは，面めんの相互そうごの位置いちではなくて，それら相互そうごの傾かたむきであり，それゆえ任意にんいの1点てんOから各面かくめんに下おろした垂線すいせんの束たばがその結晶けっしょうについて一定いっていしているのである。すなわち，結晶けっしょう形態けいたいの考察こうさつにおいては，結晶けっしょう面めんを自由じゆうに平行へいこう移動いどうさせて考かんがえてもさしつかえない。

有理ゆうり指数しすうの法則ほうそく

結晶けっしょう形態けいたいに現あらわれる稜りょう（結晶けっしょう面めんの交線）の中なかで，同どう一いち平面へいめん上じょうにない任意にんいの3稜りょうを選えらんで，これらをこの結晶けっしょうの結晶けっしょう軸じくa，b，cと名なづけ，結晶けっしょう形態けいたいを記述きじゅつする座標軸ざひょうじくとすることができる。これらの座標軸ざひょうじくは一般いっぱんには一ひとつの斜はす交座標ざひょう系けいを構成こうせいする。次つぎに結晶けっしょう軸じくのいずれとも交まじわる面めんの中なかの任意にんいの一ひとつをとって，これを基準きじゅん面めんとする。結晶けっしょう軸じくと基準きじゅん面めんP₀との関係かんけいを図ず7のaに示しめす。次ついでbのように，1点てんOからaの3軸じくにそれぞれ平行へいこうに軸じくa，b，cをとり，基準きじゅん面めんに平行へいこうな面めんP₀をおくと，前まえに述のべたように結晶けっしょう面めんは平行へいこう移動いどうして考かんがえてもさしつかえないから，bはaと同等どうとうなものである。P₀と3軸じくとの交点こうてんをそれぞれA₀，B₀，C₀とする。aで3軸じくと基準きじゅん面めんとを定さだめたことは，bで3軸じくの方向ほうこうとOA₀：OB₀：OC₀の比ひの値ねを決きめたことに相当そうとうする。この比ひを結晶けっしょう軸じくa，b，cのそれぞれの方向ほうこうの長ながさの単位たんいの比ひと考かんがえ，それを軸じく率りつと呼よぶ。またbのように軸じく間あいだの角かくをαあるふぁ，βべーた，γがんまと名なづけて，それらを軸じく角かくという。このように決きめることは，一般いっぱんには斜はす交軸をとり，さらに各かく軸じく方向ほうこうの長ながさの単位たんいが互たがいに異ことなるという複雑ふくざつな座標ざひょう系けいをとることになる。しかし，この座標ざひょう系けいを用もちいれば，結晶けっしょうには次つぎに述のべる法則ほうそくが成立せいりつし，結晶けっしょうの記述きじゅつが結局けっきょくはたいへん簡単かんたんになる。

　基準きじゅん面めんP₀以外いがいの面めんPが3軸じくを切きる長ながさをOA，OB，OCとし，

とおく。結晶けっしょうに成立せいりつする簡単かんたんな法則ほうそくというのは，H，K，Lのおのおのは簡単かんたんな有理数ゆうりすう，すなわち分数ぶんすうの形かたちにしたときにその分子ぶんし・分母ぶんぼともにあまり大おおきな整数せいすうとはならないような有理数ゆうりすうとなるというもので，これを有理ゆうり指数しすうの法則ほうそくという。

面めん指数しすう

H，K，Lの分母ぶんぼの最小公倍数さいしょうこうばいすうをM，分子ぶんしの最大公約数さいだいこうやくすうをDとし，MH/D＝h，MK/D＝k，ML/D＝lとすれば，h，k，lは1以外いがいの公約こうやく数すうをもたない整数せいすうのうち値ねの小ちいさなものであり，H：K：L＝h：k：lであるから，（1）は

となる。これらのh，k，lを面めんPの指数しすうといい，面めんPを（hkl）によって表あらわして，これを面めん記号きごうという。基準きじゅん面めんの面めん記号きごうは（111）である。図ず8のaは面めんがa，b，cの3軸じくの単位たんいの長ながさをそれぞれ1/2，1/2，1/3で切きる（223）である場合ばあいを示しめし，bはb軸じくを正せいの方向ほうこうで切きる右側みぎがわの（212）と，負まけの方向ほうこうで切きる左側ひだりがわの場合ばあいが示しめされており，後者こうしゃは指数しすうkの上うえにマイナス符号ふごうをつけて，（212）と表あらわす。cは（210）である。

晶あきら帯たい

a，b，c方向ほうこうにそれぞれx，y，z軸じくをとって，原点げんてんを通とおる（hkl）の方程式ほうていしきを書かけば，

となる。（h₁k₁l₁）と（h₂k₂l₂）との交線は，（3）の形かたちの二ふたつの方程式ほうていしきの解かいとして，

で与あたえられる。二ふたつ以上いじょうの面めんに共通きょうつうする方向ほうこうを晶あきら帯たいといい，

　　U：V：W＝（k₁l₂－k₂l₁）：（l₁h₂－l₂h₁）：（h₁k₂－h₂k₁）

によって，互たがいに素そな整数せいすうの中なかで値ねの小ちいさなものU，V，Wを選えらぶことができる。これを（h₁k₁l₁）と（h₂k₂l₂）が与あたえる晶あきら帯たいの指数しすうといい，その晶あきら帯たいを［UVW］という記号きごうで表あらわす。

が晶あきら帯たい［UVW］を与あたえる方程式ほうていしきで，a，b，c3軸じく方向ほうこうの座標ざひょうの成分せいぶんがそれぞれUa，Vb，Wcである点てんに向むかって原点げんてんから引ひいた直線ちょくせんが［UVW］の方向ほうこうを表あらわす。それゆえa軸じくは［100］，b軸じくは［010］，c軸じくは［001］とも表あらわすことができる。

結晶けっしょうの構造こうぞう

結晶けっしょうが均質きんしつで異あや方かた的てきであり，面めん角かく一定いっていの法則ほうそくと有理ゆうり指数しすうの法則ほうそくに従したがうことは，結晶けっしょうについての直接ちょくせつの観察かんさつ，すなわち結晶けっしょうの巨視的きょしてき状態じょうたいの測定そくていによって確たしかめることができる。一方いっぽう，結晶けっしょうの内部ないぶにおいては，結晶けっしょうごとにある定さだまった配列はいれつをした原子げんしの集たかりがその結晶けっしょうの構成こうせい単位たんいとなって，それらの単位たんいが空間くうかん的てきに一定いっていの繰返くりかえしを保たもって互たがいに平行へいこうに配置はいちしている。このことは，結晶けっしょうによるX線せん，電子でんし線せん，あるいは中性子ちゅうせいし線せんの回折かいせつ現象げんしょうを利用りようして知しることができる。これは結晶けっしょうの微視的びしてき状態じょうたいと呼よばれるものである。例たとえば図ず9のaは大円だいえんで表あらわした原子げんしと，その向むかって左下ひだりした側がわにある小しょう円えんの原子げんしとの1組くみで構成こうせい単位たんいを形成けいせいして，この単位たんいが前後ぜんご・左右さゆう・上下じょうげにそれぞれの方向ほうこうごとに定さだまったある間隔かんかくで繰くり返かえして互たがいに平行へいこうに並ならんでいる結晶けっしょう構造こうぞうを示しめす。

結晶けっしょう格子こうし

これらの単位たんいは図ず9のaに便宜べんぎ的てきに描えがいた破線はせんの枠わくに従したがって配列はいれつしているとみることができるので，bのようにこの枠わく（これを空間くうかん格子こうし，結晶けっしょう格子こうしあるいは単たんに格子こうしという）を取とり出だして，それが限かぎりない広ひろがりをもつと理想りそう化かして考かんがえることにする。bの前後ぜんご・左右さゆう・上下じょうげの3線せんの交点こうてんを格子こうし点てんという。aでは格子こうし点てんに大円だいえんの原子げんしが一致いっちしているように描えがいてあるが，もともと結晶けっしょう格子こうしは構成こうせい単位たんいの繰返くりかえしの方向ほうこうと間隔かんかくのみを表あらわすものであって，格子こうしの原点げんてんに当あたる格子こうし点てんを結晶けっしょう構造こうぞうのどこにとるかはまったく自由じゆうである。任意にんいの二ふたつの格子こうし点てんを結むすぶ線せんを格子こうし線せんという。その線上せんじょうには格子こうし点てんが等間隔とうかんかくに並ならんでいて，それは一いち次元じげん格子こうしとなっている。その上うえの隣となりどうしの点てんの間隔かんかくを周期しゅうきという。1格子こうし点てんで交まじわる2本ほんの格子こうし線せんが乗のる面めんを格子こうし面めんといい，格子こうし面めんの上うえには格子こうし点てんが二に次元じげん的てきな平面へいめん格子こうしをつくっている。結晶けっしょう格子こうしの中なかでは，一ひとつの格子こうし面めんに対たいして，それと合同ごうどうでそれに平行へいこうな格子こうし面めんが限かぎりなく多おおく存在そんざいする。これら同種どうしゅで隣となりあう格子こうし面めんの間あいだの垂直すいちょく距離きょりを面めん間あいだ距離きょりという。任意にんいの格子こうし点てんを通とおる同どう一いち平面へいめん上じょうにない3格子こうし線せんをとり，それらの周期しゅうきを3稜りょうとする平行へいこう六面体ろくめんたいを単位たんい胞あるいは単位たんい格子こうしという。図ず9のcに見みられるように，一ひとつの空間くうかん格子こうしにおいて無限むげんに多おおくの単位たんい胞のとり方かたがある。単位たんい胞の8隅すみのみに格子こうし点てんがあるとき，それを単純たんじゅん単位たんい胞といい（cの左側ひだりがわの2種しゅ），単位たんい胞の面めん上じょうあるいは内部ないぶにも格子こうし点てんを含ふくむものを多重たじゅう単位たんい胞という（cの右側みぎがわのもの）。このように，結晶けっしょうを微視的びしてきに見みると，周期しゅうきが通常つうじょう10⁻⁶～10⁻⁸cm程度ていどの格子こうし構造こうぞうを形成けいせいしている。

結晶けっしょうの微視的びしてき対称たいしょう

並進へいしん対称たいしょう

結晶けっしょう格子こうしは結晶けっしょうの構成こうせい単位たんいがそれに従したがって一定いってい間隔かんかくで互たがいに平行へいこうに配列はいれつする枠わくであるから，結晶けっしょう構造こうぞうを限かぎりなく広ひろがったものと理想りそう化かして考かんがえれば－－肉眼にくがんで見みえる大おおきさの結晶けっしょうの中なかには莫大ばくだいな数かずの構成こうせい単位たんいが含ふくまれているから，結晶けっしょうの内部ないぶ構造こうぞうを考かんがえる限かぎりは，構成こうせい単位たんいの繰返くりかえしは無限むげんであるとしても大おおきな誤差ごさを与あたえない－－，結晶けっしょう格子こうしの任意にんいの2格子こうし点てん間あいだのベクトルに相当そうとうするだけ結晶けっしょう構造こうぞう全体ぜんたいを平行へいこう移動いどうしても，その結果けっかは移動いどう前まえのものとまったく区別くべつがつかない。このことは結晶けっしょう構造こうぞうが三さん次元じげんの並進へいしん対称たいしょう（平行へいこう移動いどうを対称たいしょう操作そうさとする対称たいしょう）をもっていることであり，この並進へいしん対称たいしょうを具体ぐたい的てきに表あらわす結晶けっしょう格子こうしは結晶けっしょう構造こうぞうの対称たいしょう要素ようその一種いっしゅである。最初さいしょに与あたえられた図形ずけいあるいは物体ぶったいXの部分ぶぶんAに，Xに対称たいしょう操作そうさを施ほどこした結果けっかにおいてXの部分ぶぶんBが重かさなったときに，AとBとは互たがいに対称たいしょう的てきに同どう価あたいであるという。すべての格子こうし点てんは互たがいに並進へいしん対称たいしょう的てきに同どう価あたいである。

回転かいてん対称たいしょう

結晶けっしょうによっては，格子こうし並進へいしん対称たいしょう以外いがいの対称たいしょうをも示しめすものがある。例たとえばある軸じくの周まわりに結晶けっしょう構造こうぞうを360°/nだけ回転かいてんさせると，回転かいてん前まえのものと重かさなるというn回かい回転かいてん対称たいしょうをもつことがある。この場合ばあいに，結晶けっしょう構造こうぞうは空間くうかん格子こうしに従したがった構造こうぞうであり，空間くうかん格子こうしとは同おなじものがその格子こうしの周期しゅうきに従したがって繰くり返かえして互たがいに平行へいこうに並ならんでいることを意味いみするから，同おなじn回かい回転かいてん軸じくが格子こうしの周期しゅうきに従したがって互たがいに平行へいこうに並ならんでいなければならない。これらのn回かい回転かいてん軸じくの中なかで軸じく間あいだの垂直すいちょく距離きょりの最もっとも短みじかい2本ほんをN₁とN₂とする。図ず10はこれらの軸じくの方向ほうこうから見みたもので，N₁はn回かい回転かいてん軸じくであるから，その周まわりにN₂から360°/nだけ隔へだたったところにはN₂と同どう価あたいなn回かい回転かいてん軸じくN₃がなければならない。図ず10のaにおいて，もしn＞6であれば，N₂N₃＜N₁N₂となって，N₁N₂が軸じく間あいだの最短さいたん垂直すいちょく距離きょりであるという最初さいしょに決きめたことに矛盾むじゅんする。それゆえn≦6でなければならない。またn＝5のときには，図ず10のbによってN₃N₄＜N₁N₂となることがわかり，これも不都合ふつごうである。残のこるn＝1，2，3，4および6の場合ばあいにはこのような不都合ふつごうは生しょうじない。それゆえ結晶けっしょうには1回かい，2回かい，3回かい，4回かいおよび6回かい回転かいてん軸じくだけしか存在そんざいしない。この事実じじつを回転かいてん対称たいしょうの結晶けっしょう学がく的てき制限せいげんという。これら5種しゅの回転かいてん軸じくを図ず11に示しめす。球たま上じょうに亜鈴あれいが配列はいれつした図形ずけいはそれぞれの回転かいてん対称たいしょうをもった図形ずけいの例れいである。回転かいてん対称たいしょうは1，2，3，4および6と単たんなる数字すうじで表あらわすことになっている。

回かい反対称はんたいしょう

上記じょうきの回転かいてんのほかに，並進へいしん対称たいしょうでない対称たいしょうとして結晶けっしょうがもちうるものには回かい反対称はんたいしょうがある。これは図ず12のようにある軸じく（これを回かい反はん軸じくと呼よぶ）の周まわりのn回かい回転かいてん操作そうさに引ひき続つづいてその回転かいてん軸じく上じょうに定さだめられた1点てんOでの反転はんてん－－その点てんを座標ざひょうの原点げんてんとするとき，（x，y，z）の点てんを（－x，－y，－z）に移うつす操作そうさ－－を与あたえる合成ごうせい操作そうさをn回かい回かい反はん操作そうさといい，回転かいてんと反転はんてんの順序じゅんじょを入いれ換かえても結果けっかは同おなじである。結晶けっしょう構造こうぞうがn回かい回かい反対称はんたいしょうをもつとき，その結晶けっしょう格子こうしはn回かい回転かいてん対称たいしょうをもたねばならないことが容易よういに証明しょうめいされるから，回かい反たんの場合ばあいのnも結晶けっしょう学がく的てき制限せいげんに従したがい，それらを1，2，3，4，6で表あらわす。図ず13で示しめす1は反転はんてんそのものであり，この対称たいしょう要素ようそは対称たいしょう心しんと呼よばれる。

鏡かがみ映うつ対称たいしょう

また図形ずけいが2をもつと，それは反転はんてんの点てんを通とおって回かい反はん軸じくに垂直すいちょくな面めんの側がわの図形ずけいの部分ぶぶんが，他たの側がわの部分ぶぶんをその面めんで映うつしたような関係かんけいになっているので，その対称たいしょう要素ようそは鏡かがみ映うつ面めんと呼よばれ，この場合ばあいは2の代かわりに鏡かがみmirrorのmで表あらわす。

らせん対称たいしょう

さらに，回転かいてんと回転かいてん軸じくの方向ほうこうの並進へいしんtとの合成ごうせいであるらせん（螺旋らせん）も結晶けっしょう構造こうぞうの対称たいしょう操作そうさとなりうる。この名なはこれを繰くり返かえすと点てんが軸じくを取とり巻まくらせんの上うえに並ならぶことによる（図ず14）。結晶けっしょう構造こうぞうがn回まわらせん対称たいしょうをもつとき，その結晶けっしょう格子こうしはn回かい回転かいてん対称たいしょうをもつことが証明しょうめいできるから，らせんも結晶けっしょう学がく的てき制限せいげんに従したがう。またn回まわらせん操作そうさをn度ど繰くり返かえすと，回転かいてんの結果けっかは最初さいしょにもどるから，らせん軸じく方向ほうこうの単たんなる並進へいしんntとなり，それによって結晶けっしょう構造こうぞうがそれ自身じしんに重かさねられるのであるから，ntは結晶けっしょう格子こうしの並進へいしんの一ひとつに一致いっちしなければならない。その方向ほうこうの周期しゅうきを表あらわすベクトルをl（｜l｜＞｜t｜），mをnより小ちいさい自然しぜん数すうとすれば，上うえのことはml＝ntが成立せいりつすることを意味いみし，らせんをn_mの形かたちに表あらわすことができるわけである。したがって，らせんには2₁，3₁，3₂，4₁，4₂，4₃，6₁，6₂，6₃，6₄，6₅の11種類しゅるいがあり，図ず15で示しめすように，これらの中なかで3₁と3₂，4₁と4₃，6₁と6₅および6₂と6₄とはそれぞれの対たいの中なかの二ふたつが右みぎ回まわりと左ひだり回まわりの関係かんけいにあり，また4₂と6₂と6₄は2を兼かね，6₃は3を兼かねている。

映うつ進すすむ対称たいしょう

回転かいてんと並進へいしんとの合成ごうせいでらせんが生しょうじたが，回かい反たんと並進へいしんとの合成ごうせいでは，n＝2以外いがいの場合ばあいには，同どうじ回まわ反はん軸じくが異ことなった位置いちに移うつされたものとなるだけである。n＝2のときには，鏡かがみ映うつとその面めんに平行へいこうな並進へいしんtとの合成ごうせいである映うつ進すすむと呼よばれる新あたらしい対称たいしょう操作そうさが生しょうずる（図ず16）。映うつ進すすむを2回かい繰くり返かえすとtの方向ほうこうの格子こうし並進へいしんとなる。それが結晶けっしょうのa方向ほうこうの単位たんいを表あらわすベクトルaとなる場合ばあいには，この映うつ進すすむをaで表あらわし，そのときはt＝a/2である。同様どうようにbやcで表あらわされる映うつ進すすむがある。tが1/2（a±b），1/2（b±c），1/2（c±a）のいずれかに等ひとしいとき，この映うつ進すすむをnで表あらわす。後のちに述のべるように格子こうしが底そこ心しん，面めん心こころあるいは体からだ心しんの場合ばあいには，tが1/4（a±b）などの一ひとつ，あるいは1/4（a±b±c）に等ひとしくなる映うつ進すすむが可能かのうで，これらはdという記号きごうで表あらわされる。

空間くうかん群ぐん

空間くうかん格子こうしと上記じょうきの回転かいてん，回かい反はん（反転はんてんと鏡かがみ映うつとを含ふくむ），らせん，映うつ進すすむなどの対称たいしょう要素ようそとが空間くうかん的てきにある配列はいれつをしていて，それらの対称たいしょう要素ようそのいずれもが一ひとつの結晶けっしょう構造こうぞうをそれ自身じしんに重かさね合あわせるとき，これらの対称たいしょう要素ようその配列はいれつを空間くうかん群ぐんという。すなわち空間くうかん群ぐんとは一ひとつの結晶けっしょう構造こうぞうをそれ自身じしんに重かさね合あわせるあらゆる対称たいしょう操作そうさの集合しゅうごうである。その最もっとも簡単かんたんな例れいとして，図ず17のaには格子こうし並進へいしんTのみのもの，bにはTと紙面しめんに垂直すいちょくな2回かい回転かいてん軸じく2（黒くろいレンズで示しめした）との組合くみあわせ，cにはTと紙面しめんに垂直すいちょくな鏡かがみ映うつm（実線じっせんで示しめした）との組合くみあわせの空間くうかん群ぐんを示しめす。それぞれの図ずに配列はいれつした小しょう円えんは，これらの対称たいしょうによって互たがいに同どう価あたいとなる点てんである。また矢印やじるしは並進へいしんの二ふたつの周期しゅうきを示しめし，第だい3の周期しゅうきは紙面しめん（投影とうえい面めん）に垂直すいちょくとする。いずれの図ずも無限むげんに広ひろがる図形ずけいの一部いちぶを示しめす。

　空間くうかん“群ぐん”というのは次つぎの理由りゆうによる。与あたえられた結晶けっしょう構造こうぞうXをそれ自身じしんに重かさね合あわすすべての対称たいしょう操作そうさの集合しゅうごうG_sにおいて，その中なかの任意にんいの対称たいしょう操作そうさg₁によってXの部分ぶぶんAがXの他ほかの部分ぶぶんBに重かさね合あわされながらXは全体ぜんたいとしてXに重かさね合あわされ，それに引ひき続つづいて対称たいしょう操作そうさg₂を施ほどこすことによってXの部分ぶぶんBがXの部分ぶぶんCに重かさね合あわされながらXは全体ぜんたいとしてXに重かさね合あわされる。すなわちg₁に引ひき続つづいてg₂をおこなった結果けっかは，部分ぶぶんAを部分ぶぶんCに重かさね合あわせながらXをXに重かさね合あわせることになるから，これもまたXの対称たいしょう操作そうさの一ひとつであって，それは例たとえばg₃と名なづけられて既すでにG_sの中なかにあるはずである。g₁に引ひき続つづいてg₂を施ほどこすことをこれら2操作そうさ間あいだの演算えんざん（で表あらわす）と定義ていぎすれば，上うえの事情じじょうはg₁g₂＝g₃となることであり，この演算えんざんに関かんしてG_sは代数だいすう学がくで定義ていぎされる群ぐんを構成こうせいしていることを示しめすことができる。そのためG_sを空間くうかん群ぐんという。

　三さん次元じげんのあらゆる種類しゅるいの結晶けっしょう構造こうぞうをそれ自身じしんに重かさね合あわせる対称たいしょう操作そうさの集合しゅうごう，つまり空間くうかん群ぐんには，互たがいに異ことなった230種類しゅるいのものがあることを，理論りろん的てきにそれらを次々つぎつぎに導みちびき出だして最後さいごに数かぞえあげることによって証明しょうめいすることができる。

結晶けっしょうの巨視的きょしてき対称たいしょう

上述じょうじゅつの結晶けっしょうの微視的びしてき対称たいしょうとの関連かんれんにおいて，結晶けっしょうの巨視的きょしてき対称たいしょうを考かんがえる。結晶けっしょうの巨視的きょしてき観察かんさつにおける〈点てん〉とは，微視的びしてきにはその中なかにきわめて多おおくの格子こうし点てんを含ふくむある半径はんけいをもった球たまとみることができる。この球たまの互たがいに異ことなった位置いちにあるものどうしを比較ひかくすると，図ず18のように，格子こうし点てんの配列はいれつはそれら二ふたつの球たまの内部ないぶでは互たがいに等ひとしく，球面きゅうめんに近ちかいところでは球面きゅうめんに相対そうたい的てきに互たがいに異ことなる。しかし，これらの球面きゅうめん付近ふきんの格子こうし点てんの数かずは，球たまの内部ないぶの格子こうし点てんの数かずに比ひしてきわめてわずかであるから，格子こうし点てんの配列はいれつという観点かんてんにおいては球っきゅう相互そうごの差さはないとみてさしつかえない。このことは結晶けっしょうが巨視的きょしてきには均質きんしつとなることを示しめしている。

　また，結晶けっしょうの諸しょ性質せいしつは外部がいぶからの作用さように対たいする結晶けっしょうの構成こうせい単位たんいの反作用はんさようの合成ごうせいであり，この合成ごうせい反作用はんさようは構成こうせい単位たんいの配列はいれつの仕方しかたを反映はんえいするが，構成こうせい単位たんいの配列はいれつは結晶けっしょう格子こうしに従したがっているからそれは異あや方かた的てきであり，それゆえ結晶けっしょうには巨視的きょしてきに異あや方かた性せいが観察かんさつされることになる。ただし，結晶けっしょうの性質せいしつの対称たいしょうは結晶けっしょう構造こうぞうの対称たいしょうG_sには含ふくまれないある対称たいしょう操作そうさをG_sにつけ加くわえたものとなることが多おおいので，結晶けっしょうの巨視的きょしてき対称たいしょうの幾何きか学がく的てき考察こうさつには，G_sに余分よぶんなものをつけ加くわえることのないことが経験けいけん的てきに知しられているところの結晶けっしょう形態けいたいの対称たいしょうに注目ちゅうもくしなければならない。

　結晶けっしょう形態けいたいに現あらわれる結晶けっしょう面めんのおのおのはその結晶けっしょうの構造こうぞうのある格子こうし面めんであることが経験けいけん的てきに知しられている。逆ぎゃくにいえば，すべての格子こうし面めんは結晶けっしょう面めんとなりうる可能かのう性せいを多おおかれ少すくなかれもっている。また結晶けっしょう面めんの交線である稜りょうは格子こうし面めんの交線である格子こうし線せんであり，同どう一いち平面へいめん上じょうにないある3稜りょうを結晶けっしょう軸じくとしたのであるから，結晶けっしょう軸じくのおのおのはある格子こうし線せんである。このことは，結晶けっしょう軸じくは必かならずしも結晶けっしょう形態けいたいに現あらわれた稜りょうには限かぎらず，形態けいたいの記述きじゅつに便利べんりな格子こうし線せんの方向ほうこうにとりかえてもよいことを意味いみしている。また，結晶けっしょう面めんとして現あらわれるある格子こうし面めんと対称たいしょう的てきに同どう価あたいな他ほかの格子こうし面めんもやはり結晶けっしょう面めんとして形態けいたいに現あらわれることも経験けいけん的てきに知しられている。

点てん群ぐん，結晶けっしょう族ぞく

微視的びしてきなn回まわらせんや映うつ進すすむの並進へいしん成分せいぶんtは巨視的きょしてきには見みることができないから，それらは巨視的きょしてきにはそれぞれn回かい回転かいてんと鏡かがみ映うつとに等ひとしくなり，また微視的びしてきな格子こうし並進へいしんも巨視的きょしてきには均質きんしつな連続れんぞく体たいとなるから，その結晶けっしょうの任意にんいの点てんOを原点げんてんにとって，すべての対称たいしょう要素ようそがOを通とおるとみなしてよいことになる。互たがいに平行へいこうに繰くり返かえして存在そんざいする結晶けっしょう構造こうぞうの微視的びしてきな対称たいしょう要素ようそと，それらと方向ほうこうを同おなじくして原点げんてんOを通とおる巨視的きょしてきな対称たいしょう要素ようそとの対応たいおうを矢印やじるしで示しめせば，n回かい回転かいてんおよびらせん軸じく→n回かい回転かいてん軸じく，n回かい回かい反はん軸じく（n＞2）→n回かい回かい反はん軸じく，鏡かがみ映うつ面めんおよび映うつ進すすむ面めん→鏡かがみ映うつ面めん，対称たいしょう心しん→対称たいしょう心しんとなる。これらの対応たいおうによって得えられる巨視的きょしてきな対称たいしょう操作そうさの集合しゅうごうも数学すうがく上じょうの群ぐんをなすことが証明しょうめいされ，しかもこれらの対称たいしょう要素ようそはいずれも原点げんてんOを通とおるから，この群ぐんは点てん群ぐんとよばれる。結晶けっしょうを微視的びしてきに見みた場合ばあい，空間くうかん群ぐんは230種類しゅるい可能かのうであったが，巨視的きょしてきに見みるとその対称たいしょうは32種しゅの点てん群ぐんに限かぎられ，これらを結晶けっしょう族ぞくまたは晶あきら族ぞくという。

結晶けっしょう系けい

空間くうかん格子こうしの格子こうし点てんの一ひとつを固定こていしての運動うんどうによって，格子こうしをそれ自身じしんに重かさね合あわすような対称たいしょう操作そうさをすべて含ふくむ点てん群ぐんを求もとめると，表ひょうにおける第だい4列れつの7種しゅのものが得えられ，これらを完かん面めん像ぞう点てん群ぐん（晶あきら族ぞく）という。これらの点てん群ぐんによってそれ自身じしんに重かさねられる結晶けっしょう格子こうしは，その格子こうし線せんの方向ほうこうや周期しゅうきが対称たいしょうを反映はんえいしており，今後こんごは結晶けっしょう軸じくも対称たいしょうを表あらわす格子こうし線せんの方向ほうこうにとりかえることにする。そのようにしたときに得えられる3軸じくの周期しゅうきと軸じく角かくにみられる関係かんけいを第だい2列れつに示しめす。完かん面めん像ぞう点てん群ぐんによって分類ぶんるいされる7種しゅの結晶けっしょう軸じくのとり方かたによる結晶けっしょうの分類ぶんるいを結晶けっしょう系けいもしくは晶あきら系けいといい，これら7晶あきら系けいの名称めいしょうを第だい1列れつに与あたえる。これらの中なかで三さん方ぽう晶あきら系けいのみには，完かん面めん像ぞう点てん群ぐん3mによってそれ自身じしんに重かさねられる格子こうしには軸じくのとり方かたが異ことなる2種類しゅるいのものがある。

ブラベ格子こうし

表ひょうの第だい2列れつの指定していに従したがって結晶けっしょう軸じくをとったときに，結晶けっしょう系けいによっては単純たんじゅん単位たんい胞以外がいに多重たじゅう単位たんい胞をもとれる場合ばあいがあり，これらを数かぞえあげると第だい3列れつと図ず19に示しめした合計ごうけい14の型かたの格子こうしが得えられる。この14の型かたの格子こうしを，これを研究けんきゅうしたA.ブラベの名なを冠かんしてブラベ格子こうしと呼よぶ。図ず19はブラベ格子こうしのおのおのの単位たんい胞を示しめし，後うしろ下方かほうの格子こうし点てんを原点げんてんとして，前まえ，右みぎ，上うえの方向ほうこう（（10））のみは，下方かほうの格子こうし点てんを原点げんてんとして，前まえ，右みぎ，左ひだりの方向ほうこうがそれぞれa，b，c軸じくである。第だい3列れつのPは単純たんじゅん格子こうし，Cは底そこ心こころ格子こうし，Iは体からだ心こころ格子こうし，Fは面めん心こころ格子こうし，Rは菱ひし面体めんてい格子こうしを表あらわす記号きごうで，それぞれに付つけた（10）などは記号きごうではなく，図ず19に対比たいひさせる番号ばんごうである。単純たんじゅん格子こうしは単位たんい胞の角かくにだけ格子こうし点てんがある。底そこ心こころ格子こうしは単位たんい胞の角かくと底面ていめんの中心ちゅうしんに格子こうし点てんがある。体からだ心こころ格子こうしは単位たんい胞の角かくと中央ちゅうおうに格子こうし点てんがある。面めん心こころ格子こうしは単位たんい胞の角かくと各面かくめんの中心ちゅうしんに格子こうし点てんがある。

　完かん面めん像ぞう点てん群ぐんのおのおののある部分ぶぶんに相当そうとうする点てん群ぐん（完かん面めん像ぞう点てん群ぐんの部分ぶぶん群ぐん）には，第だい3列れつのブラベ格子こうしをそれ自身じしんに重かさね合あわせるものがあり，それらすべてを第だい5列れつに示しめす。例たとえば完かん面めん像ぞう点てん群ぐんmmmの部分ぶぶん群ぐんは，それ自身じしんも自己じこの部分ぶぶんとみなして形式けいしき的てきに部分ぶぶん群ぐんに含ふくめれば，mmm，mm2，222，2/m，m，2，1，1の8種しゅであるが，この中なかでmmmと同おなじく（4）（5）（6）および（7）のブラベ格子こうしをそれ自身じしんに重かさね合あわせるものはmmm，mm2，222の3種しゅのみである。斜はす方かた晶あきら系けいとはこれら3種しゅの点てん群ぐんの集たかりであるということもできる。

点てん群ぐん記号きごう

各かく結晶けっしょう系けいにおける点てん群ぐんの記号きごうが対応たいおうする方向ほうこうとそれらを書かき表あらわす順序じゅんじょを表ひょうの第だい6列れつに示しめす。そこでaとか［110］とかいうときには，その方向ほうこうにある回転かいてん軸じくあるいは回かい反はん軸じくの種類しゅるい，またはその方向ほうこうに垂直すいちょくな鏡かがみ映うつ面めんmがあることが示しめされ，ある方向ほうこうに2，4あるいは6の回転かいてん軸じくがあるとともにそれに垂直すいちょくなmがある場合ばあいには，それぞれ2/m，4/mあるいは6/mで表あらわす。三さん斜はす晶あきら系けい以外いがいでは，1は略りゃくして書かかない。第だい6列れつの（1）（2）などは図ず20の同おなじものに対応たいおうする。