절댓값
최근 수정 시각:
|
중1 때 정수와 유리수 파트에서 처음 배우며, 중3ㆍ고1 때 제곱근과 연관지어서도 또 배우고, 고1 방정식 단원에 '절댓값 기호를 포함한 방정식'에도 나온다.
함수계의 적들 중 하나이다. 이른바 '가우스 기호'라고 불리는 최대 정수 함수가 2011학년도 대학수학능력시험 이후 사걱세의 영향으로 수능에 출제가 안 되면서, 일반 학생들을 괴롭히는 최고난도의 킬러 문제는 전부 절댓값 기호가 붙는 문제가 출제되고 있다. (예시 : 2024학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 미적분 28번) 절댓값 자체가 아주 난해하다고 보긴 어려우나 어떤 문제의 난해함을 배가시킬 순 있다.
함수계의 적들 중 하나이다. 이른바 '가우스 기호'라고 불리는 최대 정수 함수가 2011학년도 대학수학능력시험 이후 사걱세의 영향으로 수능에 출제가 안 되면서, 일반 학생들을 괴롭히는 최고난도의 킬러 문제는 전부 절댓값 기호가 붙는 문제가 출제되고 있다. (예시 : 2024학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 미적분 28번) 절댓값 자체가 아주 난해하다고 보긴 어려우나 어떤 문제의 난해함을 배가시킬 순 있다.
- 이면 는 +가 되므로,
- 이 성질 때문에 절댓값은 멱등함수(idempotent function)이다.
- 이면 는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서
- 원점을 제외한 모든 점에서 미분가능하다. 정의역 중 미분이 불가능한 점이 있으므로 매끄러운 함수는 아니다.
실수의 경우 부호만 알면 쉽게 제거할 수 있다. 따라서 절댓값은 항상 0보다 크거나 같고, 0의 절댓값은 0이다.
중등 수학 1학년 1학기에서 처음 배우는 내용이며 처음 배울 때 왜 -x가 양수가 되는 경우가 존재하는지 이해하지 못하는 학생이 많다. -는 수의 부호를 바꿔주는 의미가 있다는 사실을 숙지하고 있으면, 음수에 -를 붙이면 양수가 된다는 사실을 쉽게 받아들일 수 있다. 마이너스 표시만 있다고 무조건 음수가 되는 게 아니다! 절댓값에 대해 쉽게 설명한 영상.
주로 나오는 유형은
- 함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0(x축)에 대칭이동 시킨다.
- 변수가 절댓값인 경우: 예) 에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0(y축)에 대칭이동 시킨다.
- 각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 (x, y)=(0, 0), 즉 원점에 대칭이동 시킨다.
- 절댓값 안이 다른경우: 예) 절댓값 안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. 면 면 면
함수 자체는 간단한 경우가 많으므로 그래프로도 쉽게 풀 수 있다. 실수가 정의역일 경우 그래프는 V자를 그리는 짝함수의 형태이다.
위의 모양은 y = |x|인데, 2007학년도 수능에서 이걸 평행이동시킨 그래프인 y = |x-1|을 주고 "대칭미분계수"를 물어봤다가 수많은 사상자를 양산한 바 있다.
수능 기출에도 종종 등장하는 등 절댓값은 중요하니 챙겨주자. 또 절댓값의 원리는 루트, 제곱에서도 등장하니 잘 알아두는 게 좋다.
이 '원점으로부터의 거리'라는 절댓값의 정의를 이용하여 복소수에도 절댓값을 도입할 수 있다. (는 허수단위)꼴의 복소수는 복소평면상의 (a, b)라는 점으로 나타낼 수 있는데, 이 점과 원점 사이의 거리인 이 복소수의 절댓값이 되는 것이다. 이 값은 와 같다. 는 의 켤레복소수(complex conjugate) 이다.
단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 미분가능하지 않다. 이는 라는 켤레복소수가 에 대해서 미분 가능한 함수가 아니기 때문이다.[8]
유색 복소평면에서는 위 그림처럼 시뻘건 톤의 원형 계조를 그린다. 밝기를 높이로 바꿔 보면, 옆에서 보면 원뿔을 뒤집어 원점 위에 놓은 형태가 된다. 즉, 위 문단의 V자 그래프는 복소평면에서의 그래프의 실수축 방향 절단면이라고 볼 수 있다.
단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 미분가능하지 않다. 이는 라는 켤레복소수가 에 대해서 미분 가능한 함수가 아니기 때문이다.[8]
유색 복소평면에서는 위 그림처럼 시뻘건 톤의 원형 계조를 그린다. 밝기를 높이로 바꿔 보면, 옆에서 보면 원뿔을 뒤집어 원점 위에 놓은 형태가 된다. 즉, 위 문단의 V자 그래프는 복소평면에서의 그래프의 실수축 방향 절단면이라고 볼 수 있다.
집합의 절댓값은 해당 집합에 딸려 있는 원소의 개수를 뜻하며, 기수(cardinality)라고도 한다. 무한집합에서도 성립하며, 이때는 초한기수라고 부른다. 중등교육과정에서는 로 표현한다.
[1] 헷갈리는 경우가 많은데, '絕對 '(한자어) + '값'(고유어)의 합성어이므로 사이시옷 규정에 부합한다.[2] 대표적인 예가 삼각함수의 사분면에 따른 삼각함수의 음수 양수 여부다. 비록 x 좌표값과 y 좌표값은 음수가 될 수 있지만, 그 빗변(다시 말해 분모)은 절대 음수가 될 수 없으므로 사분면에 따른 사인과 코사인의 음,양수가 다양하게 된다.(탄젠트는 x, y 좌표값에만 영향을 받는다.)[3] 실생활에서의 예를 들자면 이렇다. 대전역에서 옥천역까지의 거리는 부산 방향으로 16.2km, 신탄진역까지의 거리는 서울 방향으로 14.4km로 서로 반대 방향으로 떨어져 있다. 하지만 그렇다고 해서 이걸 -16.2km나 -14.4km와 같이 둘 중 하나를 음수로 적을 수는 없는 것과 같은 이치이다.[4] 그냥 부등호를 와 로 나누는게 계산하기 편하다.[5] [6] [7] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 또는 이 된다.[8] 실수에서 미분이 가능한 것은, 복소축 방향으로의 미분을 고려하지 않아도 되기 때문이다.
이 저작물은 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다. (단, 라이선스가 명시된 일부 문서 및 삽화 제외)
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.
나무위키는 백과사전이 아니며 검증되지 않았거나, 편향적이거나, 잘못된 서술이 있을 수 있습니다.
나무위키는 위키위키입니다. 여러분이 직접 문서를 고칠 수 있으며, 다른 사람의 의견을 원할 경우 직접 토론을 발제할 수 있습니다.