Contravariant en covariant

In multilineaire algebra en tensoranalyse geven de termen covariant en contravariant aan hoe de betrokken grootheden veranderen bij een verandering van de basis. In de natuurkunde, bijvoorbeeld, kan een basis soms gezien worden als een assenstelsel. Een verandering van de eenheden van een der grootheden komt overeen met een verandering van de schaal op de overeenkomstige as. Wordt een grootheid, zoals de golflengte, niet meer in meters gemeten maar in centimeters, dan wordt de schaal op de as een factor 100 kleiner. De betrokken component moet dan een factor 100 groter worden om de grootte van de vector in stand te houden. Vectoren die op die manier, d.w.z. tegengesteld aan een basisverandering, reageren heten contravariant. Het golfgetal daarentegen, dat het aantal golven per lengte-eenheid aangeeft, wordt net als de eenheid met de factor 100 verkleind. Het reageert op dezelfde manier en is dus covariant. Covariante vectoren worden wel covectoren genoemd.

De termen covariant en contravariant werden geïntroduceerd door J.J. Sylvester in 1853 in verband met de algebraïsche invariantentheorie.

De overgang in een vectorruimte $V$ van de geordende basis $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ op de geordende basis $C=(c_{1},\ldots ,c_{n})$ wordt formeel beschreven door de relatie

$C=BM$,

waarin de matrix $M$ als kolommen de coördinaten van de vectoren uit $C$ ten opzichte van de basis $B$ heeft.

In einsteinnotatie luidt deze relatie:

$c_{k}=M_{k}^{r}b_{r}\left(=\sum _{r=1}^{n}b_{r}M_{k}^{r}\right)$

Voor de coördinaten van een vector $v\in V$:

$v=\beta _{1}b_{1}+\ldots +\beta _{n}b_{n}=\gamma _{1}c_{1}+\ldots +\gamma _{n}c_{n}$

geldt:

$\gamma =M^{-1}\beta$

waarbij $\beta$ en $\gamma$ de als kolomvectoren geschreven rijen coördinaten zijn.

In einsteinnotatie:

$\gamma _{r}=\left(M^{-1}\right)_{k}^{r}\beta _{k}$

De coëfficiënten transformeren dus via $M^{-1}$, tegengesteld aan de overgang van de basis, die door $M$ wordt gegeven. De vector $v$ heet daarom een contravariante vector.

Anders is het voor een duale vector $v^{*}$ uit de duale ruimte $V^{*}$, die t.o.v. de duale basis wordt gegeven door:

$v^{*}={\beta ^{*}}^{1}b_{1}^{*}+\ldots +{\beta ^{*}}^{n}b_{n}^{*}={\gamma ^{*}}^{1}c_{1}^{*}+\ldots +{\gamma ^{*}}^{n}c_{n}^{*}$,

Voor de duale basis geldt:

$(B^{*})^{T}B=I,(C^{*})^{T}C=I$,

(waarbij de "vermenigvuldiging" van een lineaire functionaal (covector) met een vector het toepassen ervan op die vector is), zodat

$C^{*}=B^{*}(M^{-1})^{T}$

en voor de coëfficiënten geldt:

$(\gamma ^{*})^{T}=M^{T}(\beta ^{*})^{T}$

waarbij $\beta ^{*}$ en $\gamma ^{*}$ de als rijvectoren geschreven rijen coördinaten zijn.

In einsteinnotatie:

${\gamma ^{*}}^{k}=M_{r}^{k}{\beta ^{*}}^{r}$

Deze coëfficiënten transformeren dus via $M^{T}$, op dezelfde manier als de overgang van de basis, die door $M$ wordt gegeven. De vector $v^{*}$ heet daarom een covariante vector.

Zie ook

• Basistransformatie