Omgeving (wiskunde)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Neighborhood_illust1.svg/260px-Neighborhood_illust1.svg.png)
In de topologie en aanverwante deelgebieden van de wiskunde is een omgeving een van de basisbegrippen voor een topologische ruimte. Het geeft een abstracte en precieze betekenis aan 'dichtbij'. Intuïtief gesproken is een omgeving van een punt een verzameling die dit punt omvat, en waarbij men vanuit dit punt infinitesimaal kleine verplaatsingen kan doen zonder deze verzameling te verlaten. Het punt ligt in het inwendige van de verzameling punten, maar niet op de rand ervan. Anders gezegd is een verzameling in het vlak een omgeving van een punt , wanneer een infinitesimaal kleine schijf rondom deel van uitmaakt. Vergelijk het met de grafiek.
Een open verzameling is altijd een omgeving voor alle punten die er van deel uitmaken. Een verzameling is open dan en slechts dan als een omgeving is van alle punten in .
Definities
[bewerken | brontekst bewerken]Topologische ruimte
[bewerken | brontekst bewerken]Als een topologische ruimte en een punt in is, dan is een omgeving van een verzameling , die een open verzameling bevat, zodat in ligt.
- .
Dit betekent hetzelfde dat een inwendig punt van is.
Merk op dat de omgeving zelf geen open verzameling hoeft te zijn. Als open is dan wordt een open omgeving genoemd. Sommige auteurs definiëren omgevingen als open verzamelingen. Een verzameling die een omgeving van alle punten in is, is open, aangezien dan een vereniging is van open verzamelingen die allemaal een deelverzameling van zijn. De verzameling van alle omgevingen van een punt noemt men het omgevingssysteem van dat punt.
Als een deelverzameling van is, dan is een omgeving van een verzameling die een open verzameling bevat die op zijn beurt weer bevat.
- .
De volgende beweringen over een deelverzameling zijn gelijkwaardig:
- is een omgeving van .
- is een omgeving van alle punten in .
- is een deelverzameling van het inwendige van is.
Metrische ruimte
[bewerken | brontekst bewerken]Een verzameling in een metrische ruimte is een omgeving van een punt , als er een open schijf met middelpunt en straal bestaat, zodanig dat
een deelverzameling is van .
wordt een omgeving van een verzameling genoemd, indien er een positief getal bestaat, zodanig dat dezelfde vergelijking voor alle elementen van geldt.
Dit is voor twee dimensies geschreven, maar geldt in het algemeen voor een willekeurig aantal dimensies.
Uniforme omgeving
[bewerken | brontekst bewerken]Voor is de -omgeving van een verzameling de verzameling van alle punten in die op een afstand minder dan van liggen, of hetzelfde, is de vereniging van alle open schijven van straal die zijn gecentreerd op een punt in . Hieruit volgt rechtstreeks dat een -omgeving een uniforme omgeving is en dat een verzameling een uniforme omgeving is dan en slechts dan als de verzameling een -omgeving bevat voor enige waarde van .
- Voorbeeld
Gegeven de verzameling van de reële getallen met de gebruikelijke euclidische metriek en een deelverzameling gedefinieerd als
dan is een omgeving voor de verzameling van de natuurlijke getallen, maar is geen uniforme omgeving van deze verzameling.
Topologie van omgevingen
[bewerken | brontekst bewerken]Bovenstaande definitie komt van pas als de notie van een open verzameling al is gedefinieerd. Er is echter een alternatieve manier om een topologie te definiëren, namelijk door eerst het omgevingssysteem te definiëren, en vervolgens open verzamelingen te definiëren als die verzamelingen die een omgeving van elk van hun punten bevatten.
Een omgevingssysteem op de toekenning is van een filter (op de verzameling ) aan elke in zodanig dat
- het punt een element is van elke in
- elke in enige in bevat, zodanig dat voor elke , deel uitmaakt van
Men kan laten zien dat beide definities compatibel zijn, dat wil zeggen dat de topologie die wordt verkregen uit het omgevingssysteem dat is gedefinieerd door gebruik te maken van open verzamelingen de oorspronkelijk is en vice versa wanneer men start vanuit het omgevingssysteem.
Geperforeerde omgeving
[bewerken | brontekst bewerken]Een geperforeerde omgeving van een punt , soms ook een verwijderde omgeving genoemd, is een omgeving van , zonder Het interval is bijvoorbeeld een omgeving van 0 op de reële lijn, zodanig dat de verzameling een geperforeerde omgeving van 0 is. Merk op dat een geperforeerde omgeving van een gegeven punt in feite geen omgeving van dat punt is.
Overige eigenschappen
[bewerken | brontekst bewerken]In de gewone topologie op de reële getallen is een verzameling, een omgeving van een getal dan en slechts dan als de afstand van dat getal tot het complement van strikt positief is. Deze eigenschap geldt in willekeurige metrische ruimten.
In een -ruimte is het enige punt dat tot alle omgevingen van behoort. Deze eigenschap is kenmerkend voor -ruimten. De scheidingsaxioma's spelen daarbij een rol.
Een punt behoort tot de topologische sluiting van een verzameling als en slechts als alle omgevingen van snijdt.
Omgevingenfilter
[bewerken | brontekst bewerken]De verzameling van alle omgevingen van een gegeven punt vormt een filter:
- is niet leeg, want de ruimte behoort ertoe,
- bevat niet alle deelverzamelingen van , want omgevingen van moeten minstens zelf bevatten,
- de doorsnede van twee omgevingen van is een omgeving van en
- een uitbreiding van een omgeving van is een omgeving van .
Men noemt het omgevingenfilter van .