Philosophiæ naturalis principia mathematica

Newtons vugge på et eksemplar av hans Philosophiae naturalis principia mathematica.

Philosophiae naturalis principia mathematica (latin: «Matematiske prinsipper for naturlig filosofi», ofte forkortet til Principia eller Principia Mathematica) er et verk i tre bind av Isaac Newton som ble utgitt 5. juli 1687. Det inneholder formuleringen av det som har blitt kjent som Newtons bevegelseslover, som la grunnlaget for klassisk mekanikk og også Newtons universelle gravitasjonsteori. Han utledet også Keplers lover for planetenes bevegelser, som tidligere bare hadde vært empirisk fastslått.

Gjennom formuleringen av sine teorier om fysikk, hadde Newton levert viktige bidrag til utviklingen av en gren av matematikken som senere har blitt kjent som kalkulus eller matematisk analyse. Det analytiske matematiske språket ble imidlertid i liten grad brukt i Principia, her formulerte Newton sine bevisføringer som geometriske argumenter i den euklidske tradisjonen.

Det er i verket Principia at Newton uttrykker sin berømte Hypotheses non fingo («Jeg danner ingen hypoteser.»)

Den historiske sammenhengen

Begynnelsen til den vitenskapelige revolusjon

Nikolaus Kopernikus

Johannes Kepler

Galileo Galilei

Keplers andre lov sier at baneradien til en planet i elliptisk bane rundt sola sveiper over en like stor flate på like lang tid.

René Descartes

Nikolaus Kopernikus hadde for alltid flyttet jorden bort fra universets sentrum med den heliosentriske teorien som han presenterte bevis for i De revolutionibus orbium coelestium (Om verdenshimmellegemenes bevegelser) som kom ut i 1543.

Systemet ble fullført da Johannes Kepler skrev sin bok Astronomia nova (En ny astronomi) i 1609, og presenterte bevis for at planetene beveger seg i elliptiske baner som har solen som det ene brennpunktet, og at planetene ikke beveger seg med jevn hastighet langs denne banen. Derimot varierer farten slik at en linje mellom solen og en planet (baneradien) vil dekke et like stort areal i løpet av et gitt tidsrom, uavhengig av avstanden mellom sola og planeten. Planetens omløpshastighet er altså høyere jo nærmere den er sola. Dette er essensen i Keplers første og andre lov. Til dette la han ti år senere til en tredje lov, publisert i det ellers lite bemerkelsesverdige verket Harmonices Mundi (Verdens harmonier). Denne tredje loven sier at middelradien i tredje potens og kvadratet av omløpstiden er proporsjonale.

Grunnlaget for den moderne dynamikken ble lagt i Galileo Galileis bok Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (Dialog om verdens to hovedsystem) fra 1632, hvor begrepet treghet (at legemer motsetter seg endring av bevegelsestilstanden) var underforstått og ble tatt i bruk. (Bevegelseslovene skulle imidlertid ikke bli formulert i sin presise form før Newton gjorde det i Principia). Galileos eksperimenter med kulers bevegelse på skrått underlag hadde også gitt presise matematiske forhold mellom tid og akselerasjon, hastighet og distanse for legemer i jevn bevegelse eller som var utsatt for jevn akselerasjon.

René Descartes hadde i sin bok Principia philosophiae fra 1644 erklært at legemer bare kan virke på hverandre gjennom berøring. Dette var et prinsipp som fikk folk, inkludert ham selv, til å lage hypoteser om et universelt medium som kunne formidle fenomen som lys og gravitasjon, den såkalte eter. En annen feil Descartes begikk var i hans forståelse av sirkulære bevegelser, men her bar hans feiltakelser frukt ved at de fikk andre til å se på sirkelbevegelse som et problem som bygget på treghet. Christiaan Huygens skulle løse dette problemet på 1650-tallet, selv om han ikke publiserte sin lov om sentrifugalkraften før langt senere. Huygens var forøvrig på linje med Descartes i teorien om at lys forplantet seg gjennom en eter som en slags bølge, og havnet i diskusjon med Newton som mente lys var en slags partikler. I dag vil man si at det ikke er mulig å oppfatte lyset som enten bølge eller partikkel uten å gå nærmere inn på hvordan lysfenomenet opptrer.

Newtons rolle i den vitenskapelige revolusjon

Utdypende artikkel: Isaac Newton

Isaac Newton portrettert av Godfrey Kneller i 1689

Newton hadde studert disse bøkene, eller i noen tilfeller sekundære kilder som bygget på dem. Notater fra disse studiene ble senere publisert som Quaestiones quaedam philosophicae (spørsmål om filosofi). Det var i denne perioden (1664–66) at han skapte grunnlaget for den matematiske analysen og gjorde sine første eksperimenter med fargenes optiske egenskaper. Han tok også to avgjørende steg innenfor dynamikken. For det første analyserte han kollisjonen av to legemer og deduserte helt korrekt at massesenteret forblir i jevn bevegelse (altså at summen av bevegelsesmengdene er bevart). For det andre gjorde han sin første analyse av sirkulær bevegelse, men gjorde den feilaktige antakelsen at det måtte eksistere en sentrifugal (mot)kraft. På dette tidspunkt hadde han fortsatt ikke forstått betydningen av treghet som mekanisk begrep. Han oppsummerte sitt arbeide i et notat han kalte «The lawes of Motion» (må ikke forveksles med hans senere formuleringer av bevegelseslovene).

I løpet av de følgende årene publiserte han sine eksperimenter med lys og fargeteorien disse resulterte i. Han fikk overveldende positiv respons, men havnet uunngåelig nok i vitenskapelige ordskifter med blant andre Robert Hooke, noe som tvang ham til å gjennomtenke og spisse teoriene sine så langt at han allerede på 1670-tallet hadde formulert flere avsnitt av det som senere ble boken Opticks (publisert i 1704). Han skrev også bruddstykker om matematisk analyse i forskjellige notater og brev, blant annet i to brev til Leibniz. Han ble medlem av Royal Society, og ble den andre lucasianske professor i matematikk (etter Isaac Barrow) ved Trinity College i Cambridge.

I 1665, året for den store pesten i London, skal Newton allerede ha fått sin legendariske åpenbaring under epletreet. Hans analyse av fenomenet gravitasjon fikk ham til å sette Keplers tredje lov inn i sin egen (fortsatt litt forvirrede) derivasjon av sentrifugalkreftene, og han konkluderte at gravitasjonsstyrken avtar med kvadratet av avstanden.

Robert Hooke

I 1674 skrev Hooke et brev til Newton, og det var gjennom dette brevet at Newton for første gang forsto hvilken rolle treghet spilte i sirkulære bevegelser. På grunn av tregheten vil et legeme i bevegelse i utgangspunktet bevege seg i en rett linje, det må være en kraft som trekker inn mot sirkelens sentrum for at det skal være en sirkelbevegelse. Som svar tegnet og beskrev Newton en forseggjort trajektorisk bane for et legeme som i utgangspunktet bare hadde tangentiell bevegelse, hvor legemet beveget seg i en spiralbane inn mot sentrum. Hooke la merke til denne feilen og rettet den, og sa at med kraften som det inverse kvadratet av avstanden ville den korrekte banen bli en ellipse. Hooke offentliggjorde så denne utvekslingen ved å lese både Newtons brev og sin egen rettelse høyt for Royal Society i 1676. Newton forsvarte seg med å beskrive baner for mange andre slags sentralkrefter, og viste med dette at han behersket metoden.

I en samtale med Christopher Wren i 1677 skjønte Newton at Wren hadde kommet fram til den inverse kvadratloven på akkurat samme måte som han selv hadde. Det var imidlertid ikke bare matematisk analyse som førte Newton fram til disse erkjennelsene. Også hverdagslige observasjoner, som at man kan rotere enn bøtte full av vann uten at vannet renner ut, ga innsikt i hvordan krefter virker inn på legemer i bevegelse. Eksemplet med den roterende bøtten brukte han også senere i Principia.

I 1681 ble det observert en komet som passerte solen og vendte tilbake. Astronomen John Flamsteed forsto at det var dette som hendte, mens de fleste av samtidens vitenskapsmenn trodde det måtte være snakk om to kometer, en som forsvant forbi solen og en som kom i motsatt retning. Brevvekslingen mellom Newton og Flamsteed i etterkant av dette viser at Newton på dette tidspunkt ennå ikke hadde forstått gravitasjonsprinsippets universelle betydning.

Skriving og publisering

Newtons egen kopi av hans Principia, med håndskrevne rettinger til andreutgaven.

I august 1684 besøkte Edmund Halley Newton i Cambridge. Han hadde da gjenoppdaget den inverse kvadratloven ved å sette Keplers lover inn i Huygens formel for sentrifugalkraft. Halley hadde hatt en samtale med Wren og Hooke i januar, hvor Hooke hadde gjort krav på å ha utledet kvadratloven, og også alle lovene for planetbevegelser. Wren var ikke overbevist, og ettersom Halley ikke hadde lykkes med denne utledningen selv bestemte han seg for å spørre Newton. Newton sa at han allerede hadde gjort utledningene, men ikke kunne finne notatene sine. Samsvarende referat av dette møtet finnes fra Halley og Abraham De Moivre som Newton hadde betrodd seg til.

I november 1684 mottok Halley en avhandling på ni sider fra Newton, kalt De motu corporum in gyrum (Om bevegelsen til legemer i bane). Der ble Keplers tre lover utledet ved hjelp av loven om at gravitasjonsstyrken avtar med kvadratet av avstanden, og generalisert i kjeglesnitt. Det utvidet dynamikkens metodologi ved å legge til løsningen av problemet med et legeme som beveger seg gjennom et medium som gjør motstand. Etter et nytt besøk hos Newton, la Halley disse resultatene fram for Royal Society 10. desember (juliansk kalender). Newton overbrakte også selv resultatene til Flamsteed, men insisterte på å revidere manuskriptet sitt. Det var disse viktige revisjonene, spesielt om treghetsbegrepet, som i løpet av det neste halvannet år langsomt utviklet seg til Principia. Flamsteeds bidrag, gjennom å jevnlig levere observasjoner om planetenes bevegelse, var svært nyttige i denne perioden.

Teksten til den første av de tre bindene ble presentert for Royal Society i slutten av april i 1686. Hookes krav om å ha vært først ute med disse oppdagelsene førte til noen forsinkelser, men i juni ble Samuel Pepys, som president for selskapet, autorisert til å lisensiere den for publisering. Beklageligvis hadde Royal Society nettopp brukt opp hele sitt publiseringsbudsjett på et verk om fiskens historie, så de opprinnelige kostnadene ved publisering ble båret av Edmund Halley. Verket forelå komplett neste år, den tredje boken ble publisert sommeren 1687.

Andreutgaven kom 30. juni 1713, den var redigert av Roger Cotes, professor i astronomi ved Trinity, og hadde også korrekturbidrag fra Firmin Abauzit og David Gregory. Tredjeutgaven kom 25. mars 1726.

Bokens innhold

Prefatio

I forordet til Principia skriver Newton:

...mechanica rationalis erit scientia motuum, qui ex viribus quibuscunque resultant, et virium quæ motur qouscunque requiruntur... ...hæc nostra tanquam philosophiæ principia mathematicga proponimus. Omins enim philosopiæ in eo versari videtur, ut a phænomenis motuum investigemus vires naturæ, deinde ab his viribus demonstremus phænomena reliqua.

...den rasjonelle mekanikk vil være vitenskap for bevegelse bevirket av hvilken kraft som helst, og for kreftene som kreves for å produsere bevegelsen... ... og derfor legger vi fram dette arbeidet som filosofiens matematiske prinsipper, for hele filosofiens byrde ser ut å bestå av dette, å utforske naturens krefter utfra bevegelsesfenomenet, og så fra disse kreftene å utforske andre krefter...

Principia, prefatio xi

En side fra Newtons Principia

Det var kanskje kraften i Principia, som på en økonomisk måte forklarte så mange aspekt om den naturlige verden, som gjorde at Newtons metode nærmest ble synonymt med begrepet «fysikk», selv slik fysikken blir praktisert 350 år etterpå. I dag kaller vi de to aspektene Newton understreker for analyse og syntese.

Principia er et verk i tre bind, men består egentlig av to bøker, hvor den første var så omfattende at den ble delt i to bind. De tre bindene er

1. De motu corporum (Om legemers bevegelse) er en utledning av matematisk analyse fulgt av utsagn om de grunnleggende definisjoner for dynamikk og de første deduksjonene basert på disse. Bindet inneholder også framlegg og bevis som har lite å gjøre med dynamikk som sådan, men som demonstrerer hva slags problemer som kan løses med matematisk analyse.
2. Dette er fortsettelsen av det første bindet. Det behandler ulike felt som bevegelse gjennom et medium som skaper friksjon, beregning av formen som gir minst friksjon, beregning av lydens hastighet og omtale av eksperimentelle tester av resultatet
3. De mundi systemate (Om verdens system) er et essay om universell gravitasjon som bygger på framleggene i de første bøkene og bruker dem på bevegelsene som kan observeres i solsystemet – regularitetene og irregularitene i månens kretsløp, utledningene av Keplers lover, appliseringer på bevegelsene til Jupiters måner, til kometer og til tidevannet (mange av disse dataene kom fra John Flamsteed). Bindet tar også i betraktning den harmoniske oscillator i tre dimensjoner, og lover for bevegelse under forskjellige krefter.

Definitiones

Rekkefølgen av definisjoner som brukes for å forklare dynamikk i Principia er nøyaktig den samme som brukes i alle lærebøker i dag. Newton gir åtte definisjoner. Først framsetter han definisjonen av masse.

Quantitas Materiæ est mensura ejusem orta ex illius Densitat et Magnitudine conjuctim. Aer, densitate duplicatâ, in spatio etiam duplicato fit quadruplus... ...Hanc autem Quantitatem sub nomine Corporis vel Massæ in sequentibus passim intelligo.

Mengden av materie er det som oppstår samtidig fra den tetthet og størrelse. Luft av dobbel tetthet og omfang, vil i mengde være firedoblet... ...Denne størrelsen gir jeg navnet kropp eller masse i de følgende sekvenser.

Pricipia, Definitiones s.1

Denne ble så brukt til å definere «mengden av bevegelse» (Quantitas Motum) som vi i dag benevner som bevegelsesmengde (av og til kalt impuls) (definisjon II), og treghetsprinsippet hvor masse erstatter det kartesiske begrepet indre kraft(III). Dette bereder så grunnen for å introdusere krefter, som kan forandre et legemes bevegelsesmengde.(IV) De fire siste definisjonene er presiseringer av hvordan krefter og masse virker innenfor endring (akselerasjon) av sentrifugale bevegelser.

Etter disse åtte definisjonene følger et «Scholium», hvor han ikke definerer tid, rom, sted og bevegelse (Tempus, Spatium, Locum et Motium) siden dette er «kjent for alle». Han introduserer i stedet begrepene «absolutt, sann og matematisk tid», «absolutt rom» og «absolutt bevegelse» («Tempus Absolutum, verum, et mathematicum», «Spatium Absolutum» og «Motus Absolutus»).

Axiomata, sive Legus Motus

Etter definisjonene følger kapittelet Axiomata, sive Legus Motus (Aksiom eller bevegelseslover). Det er her vi finner Newtons bevegelseslover, som han formulerer som

LEX I. Corpus omne perservare in statu sua quiescendi vel movendi uniforiter in directum, nisi quatebus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

LEX II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa inprimitur.

LEX III. Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.

Første lov. Alle legemer bevarer sin tilstand av ro eller jevn bevegelse i en rett linje, dersom det ikke blitt tvunget til å endre denne tilstand av krefter som blir påført.

Andre lov. Endringen av bevegelsen er alltid proporsjonal med den motiverende kraft som blir påført, og blir gjort i den rettlinjede retning i hvilken denne kraft blir påført.

Tredje lov. Enhver virkning har alltid og tilsvarende en motvirkning, eller den gjensidige påvirkning av to legemer på hverandre er alltid lik, og motsatt rettet.

Principia, Axiomata, sive Legus Motus, s.15f

Disse lovene danner utgangspunktet for den klassiske mekanikken, og brukes fortsatt i pedagogiske framstillinger, selv om de moderne formuleringene er ganske forskjellige fra Newtons. Newtons LEX II formuleres for eksempel gjerne i dag som

Når en kraft virker på et legeme vil legemet akselerere etter formelen ${\vec {F_{res}}}=m{\vec {a}}$,
hvor ${\vec {F_{res}}}$ er resultantkraften, m er legemets masse og ${\vec {a}}$ er akselerasjonen.

Moderne formuleringer av Newtons lover kan beskrives slik:

1. Dersom summen av krefter på en gjenstand er lik null, vil farten forbli konstant
2. Summen av kreftene på en gjenstand er dens masse multiplisert med dens akselerasjon
3. Enhver kraft har en lik og motsatt rettet motkraft

Lovene kan også formuleres med matematiske symboler:

1. ΣしぐまF = 0 ↔ v = konst.
2. ΣしぐまF = ma
3. F = -F

For moderne formuleringer av de andre lovene, se Newtons bevegelseslover.

Til hver av lovene følger en kortere forklaring, før han i resten av dette kapitlet utleder konsekvensene av sine bevegelseslover, i form av seks korrolat og et scholium.

De moto corporum

De moto corporum (Om legemers bevegelse) må betraktes som hoveddelen av verket. Denne delen strekker seg gjennom resten av første bind og hele andre bind. Newton bruker her bevegelseslovene på forskjellige legemer i bane, og på legemer som blir utsatt for forskjellige former for friksjon. Newton bruker et formalistisk oppsett i klassisk euklidsk logisk form, med lemma, korrolat og scholia. De moto corporum er inndelt i tilsammen 23 seksjoner, 14 i det første bindet og 9 i det andre.

De mundi systemate

Det tredje bindet består av essayet De mundi systemate (Om verdens system). Det er et essay om den universelle gravitasjon som bygger på framleggene i de første bøkene og bruker dem på bevegelsene som kan observeres i solsystemet – regularitetene og irregularitene i månens kretsløp, utledningene av Keplers lover, appliseringer på bevegelsene til Jupiters måner, til kometer og til tidevannet (mange av disse dataene kom fra John Flamsteed). Bindet tar også i betraktning den harmoniske oscillator i tre dimensjoner, og lover for bevegelse under forskjellige krefter.

Det matematiske språket

Newton bruker klassisk euklidsk geometri til å formulere sine matematiske bevis og argumentasjonsrekker i Principia. Dette synes underlig, ettersom et flertall av matematikerne på 1600-tallet hadde tatt i bruk analytisk geometri. Newton selv hadde brukt analytisk geometri i tidligere avhandlinger. Hans tidlige notater tyder på at Newton faktisk behersket analytisk geometri før han lærte seg den euklidske geometrien. Noen senere kommentatorer har foreslått at Newton tok i bruk euklidsk bevisførsel som et retorisk poeng for å vise hvor enkelt hans oppdagelser fulgte av den greske tradisjonen. I dag spekuleres det også om Newton bevisst førte et vanskelig matematisk språk i verket sitt for å unngå diskusjoner med andre vitenskapsmenn eller myndighetene.

Den euklidske geometriens matematiske språk er i regelen ikke godt nok kjent for dagens fysikere til at de klarer å følge Newtons argumentasjonsrekker i Principia. Det matematiske språket skal ha forvirret Richard Feynman så mye at han prøvde å utvikle nye euklidske bevisføringer. Et av de siste større arbeidene Subramanyan Chandrasekhar gjorde før sin død i 1995 var å oversette Principia til moderne matematisk språk slik at også dagens fysikere skulle kunne lese og verdsette verket som la grunnlaget for moderne fysikk.

Mottakelse

Etter at den opprinnelige disputten med Hooke om hvem som hadde vært først ute med ideene var avklart, fikk Newtons Principia en god mottakelse i datidens vitenskapelige kretser. Framstillingen av dynamikken i de første to bøkene var så konsistent og selvforklarende at det øyeblikkelig ble akseptert. John Locke henvendte seg til Huygens og spurte om man kunne stole på den matematiske bevisføringen, og ble forsikret om dens riktighet.

Gravitasjonsteoriens konsept med en kraft som øvde tiltrekking på avstand fikk en kjøligere mottakelse. I sine notater hadde Newton skrevet at den inverse kvadtratloven utgikk naturlig fra materiens struktur. Denne setningen trakk han tilbake i den publiserte utgaven, hvor han erklærte at planetenes bevegelser var konsistente med kvadratloven, men ikke ville spekulere i opprinnelsen til loven. Huygens og Gottfried Leibniz bemerket at loven ikke passet sammen med begrepet eter. Fra en kartesisk synsvinkel måtte dette derfor være en feilslått teori. Newtons forsvar har senere blitt brukt av mange berømte fysikere – han påpekte at teoriens matematiske form måtte være korrekt siden den kunne forklare alle dataene, og nektet så å spekulere videre om gravitasjonskreftenes grunnleggende natur (Hypotheses non fingo). Mengden av fenomen som kunne organiserer ved hjelp av Newtons teori var så imponerende at de fleste yngre vitenskapsmenn («filosofer» etter datidens begrepsbruk) raskt begynte å bruke metodene og begrepene fra Principia.

Harald Aastorp oppsummerer verkets betydning slik:

Principia betraktes ofte som det menneskelige intellekts største triumf gjennom alle tider. Tross verkets omfang og hvor vanskelig tilgjengelig det var, ble Newton likevel umiddelbart berømt og voldsomt respektert som fysiker, matematiker og vitenskapsmann... ...Selve formen Principia ble skrevet på, måten Newton systematisk argumenterte og utledet sine slutninger, ble malen på hvordan vitenskapelig produksjon skulle utføres.

Originale kopier

Flere større boksamlinger har førsteutgaver av Philosophiæ naturalis principia mathematica, blant andre

• Wren Library ved Trinity College i Cambridge har Newtons egen kopi av førsteutgaven, med håndskrevne notater for andreutgaven.
• Whipple museumet for vitenskapens historie i Cambridge har en førsteutgave som har tilhørt Robert Hooke
• Bibliotheca Bodmeriana utenfor Genève har en førsteutgave som har tilhørt Leibniz. Den inneholder håndskrevne notater gjort av Leibniz, særlig i forbindelse med hans kontrovers med Newton om hvem som først hadde utviklet matematisk analyse.
• Gunnerusbiblioteket ved NTNU i Trondheim har et eksemplar av førsteutgaven, som har tilhørt den norske historikeren Gerhard Schøning. http://bibsys-primo.hosted.exlibrisgroup.com/BIBSYS:BIBSYS_ILS990268500

Litteratur

Noen utgaver av Principia

• Newton, Isaac: Philosophiæ naturalis principia mathematica, Royal Society, London 1687' Gunnerusbibliotekets digitaliserte førsteutgave Arkivert 17. april 2013 hos Wayback Machine.
• Newton, Isaac:Philosophiæ naturalis principia mathematica, Royal Society, London 1687-88 Google books, med pdf. 1833-utgave
• Newton, Isaac:Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, i engelsk oversettelse ved Andrew Motte 1729 HTML Google books, med pdf. 1729-utgave
• Isaac Newton, Naturvetenskapens matematiska principer, oversatt til svensk av Carl Charlier i to bind (1927 – 31). (Siste utgave 1986; ISBN 91-40-60433-0 / ISBN 91-40-60437-3)

Andre kilder

• Stigen, Anfinn:Tenkningens historie (bind 2), Gyldendal Norsk Forlag 1983, ISBN 82-05-14665-9
• Aastorp, Harald:Newtons fysikk, Nettpublikasjon fra forskning.no, juli 2003 [4]

Sekundær litteratur

• Westfall, Richard S.: Never at Rest: A Biography of Isaac Newton. Cambridge University Press. 1983 ISBN 0-521-27435-4
• Herivel, J.W.: The background to Newton's "Principia", Oxford University Press, 1965

Eksterne lenker

(en) Philosophiae Naturalis Principia Mathematica – originaltekster fra den engelskspråklige Wikikilden

• Deler av Principia i engelsk oversettelse gravitee (HTML)
• Den latinske originalteksten til Principia hos Googlebooks
• Utgave fra 1739-1742, fargefotografier av sidene Bind 1, Bind 2, Bind 3.1, Bind 3.2
• Internasjonalt forskningsprosjekt med sete i Trondheim som forsker på idéhistoriens og vitenskapens utvikling på 1600- og 1700-tallet: http://www.ntnu.no/fremmedsprak/forskning/skyggen