Spredningstverrsnitt
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Impctprmtr.png/280px-Impctprmtr.png)
Spredningstverrsnitt eller virkningstverrsnitt er en størrelse som benyttes innen kjernefysikk og partikkelfysikk for å uttrykke sannsynligheten for at en vekselvirkning mellom to partikler skal inntreffe. Det måles ved å sende en partikkel mot en annen partikkel som kan ligge i ro eller beveger seg motsatt retning. Generelt blir en slik vekselvirkning kalt for spredning.
Spredningstverrsnittet betegnes ved den greske bokstaven
Spredningsprosessen er elastisk når de to partiklene bare forandrer bevegelsesretning. I motsatt fall har man en uelastisk spredningsprosess. Da kan indre egenskaper ved den ene eller begge partiklene forandres eller helt nye partikler kan oppstå. Ofte vil disse mulighetene opptre i samme spredningseksperiment slik at det totale spredningstverrsnittet blir summen av de partielle tverrsnittene for hver av prosessene.
I en klassisk beskrivelse av spredning vil man forvente at størrelsen på virkningstverrsnittet er gitt ved den geometriske størrelsen til de spredende partikler. Dette er også tilfellet når de vekselvirker over en avstand som er kortere enn deres utstrekning. Men skyldes vekselvirkningen den elektriske Coulomb-kraften som har lang rekkevidde, er det totale spredningstverrsnittet veldig stort selv om partiklene har forsvinnende liten utstrekning.
Dette gjelder også ofte i en kvantemekanisk beskrivelse. Det totale spredningstverrsnittet mellom to protoner ved ikke altfor høye energier er av størrelsesorden 4×10 -26 cm2 som kan tilskrives en radius for protonet på omtrent 10 -13 cm. Derimot er det tilsvarende høyenergetiske virkningstverrsnittet for et nøytrino mot et proton så lite som 10 -41 cm2. I dette tilfellet skyldes vekselvirkningen den svake kjernekraften som ikke er direkte avhengig av protonets størrelse.
Litt historie[rediger | rediger kilde]
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Scatteringrutherford.jpg/300px-Scatteringrutherford.jpg)
Den første spredningsprosess som ble grundig studert, var spredning av lys i atmosfæren på grunn av molekyler og andre, mikroskopiske partikler. I sine arbeider fra 1871 utledet Lord Rayleigh det tilsvarende spredningstverrsnittet som viste seg å avta raskt med bølgelengden til det innkommende lyset. Dette forklarer hvorfor himmelen er blå.
Vel tredve år senere regnet J. J. Thomson ut virkningstverrsnittet for spredning av lys mot frie elektroner. Det gjorde det mulige å måle antall elektroner i atomet ved hjelp av røntgenstråling og var derved viktig i etableringen av moderne atomfysikk.
I 1911 målte Ernest Rutherford spredningstverrsnittet for kollisjoner mellom
På slutten av 1960-tallet kunne man fra virkningstverrsnittet for spredning av høyenergetiske elektroner på protoner ved SLAC konstatere at disse består av mindre partikler som etter kort tid viste seg å være kvarker. Ved enda høyere energier ble Higgs-bosonet oppdaget i 2012 på CERN ved spredning av protoner mot protoner.
Definisjon[rediger | rediger kilde]
Spredningseksperiment blir ikke gjort ved å sende én og én partikkel mot en annen. I stedet sendes en stråle av partikler mot en spreder som inneholder mange andre partikler. Disse kan være samlet i et fast materiale eller være i flyttende form, alternativt som gass. For å unngå at én partikkel forårsaker flere kollisjoner, må ikke tettheten av partikler i sprederen være for stor eller så må den være tilstrekkelig tynn.
Hvis tykkelsen av sprederen kalles
Denne sannsynligheten er samtidig forholdet mellom intensiteten til spredte og innkommende partikler.[2]
Når den innkommende strålen av partikler går gjennom flere lag med spredere, vil dens intensitet I(x) svekkes. I et tynt lag med tykkelse dx er denne reduksjonen nå gitt ved
Denne differensialligningen kan løses ved bruk av eksponensialfunksjonen med resultatet
og viser hvordan intensiteten avtar med økende x innover i en tykk spreder. Samme lovmessighet ble funnet for flere hundre år siden for spredning av lys og omtales i den sammenheng som Beer-Lamberts lov.
Geometrisk virkningstverrsnitt[rediger | rediger kilde]
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Wirkungsquerschnitt-Skizze.svg/200px-Wirkungsquerschnitt-Skizze.svg.png)
Når en kule med radius R blir projisert på et plan, vil den utgjøre et areal
På samme vis er spredningstverrsnittet for to klassiske kuler med radier henholdsvis R og r gitt som
Det følger fra å anta for eksempel at kule R ligger i ro og r beveger seg mot denne. For at det skal bli mekanisk kontakt mellom dem, må sentrum til kule r komme innenfor en sirkel med radius R + r.
Ved disse klassiske kollisjonene ville de tilsvarende virkningstverrsnittene vært større hvis partiklene og kulene kunne virke på hverandre over større avstander enn deres geometriske utstrekning. Det ville være tilfellet hvis de for eksempel hadde elektrisk ladning.
Differensielt spredningstverrsnitt[rediger | rediger kilde]
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/ScatteringDiagram.svg/360px-ScatteringDiagram.svg.png)
Det totale spredningstverrsnittet
Benyttes et kulekoordinater (r,
Dette antallet er proporsjonalt med antall partikler Ns = nA
der I0 er fluksen av innkommende partikler og d
Fra denne definisjonen av det diifferensielle spredningstverrsnittet følger at det kan benyttes både for elastiske og uelastiske prosesser. Det avhenger av hva slags partikler med hvilke egenskaper man registrerer i den gitte retningen.
Støtparameter[rediger | rediger kilde]
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Differential_cross_section.svg/500px-Differential_cross_section.svg.png)
En klassisk kollisjon mellom to partikler kan beskrives som et tolegemeproblem hvor den innkommende partikkelen beveger seg i kraftfeltet fra den andre som utgjør sprederen. Denne antas å være veldig tung slik at dens posisjon ikke forandres, bare retningen til partikkelen som den spreder.
Avgjørende for størrelsen til spredningsvinkelen
I denne klassiske beskrivelsen vil alle innkommende partikler som går gjennom en liten ring med areal d
hvor man tar den positive verdien hvis den deriverte db/d
Eksempel[rediger | rediger kilde]
Det enkleste eksempel på en slik klassisk beregning av det differensielle spredningstverrsnittet har man når en liten partikkel kolliderer med en massiv, hard kule. Skjer dette med støtparameter b, vil treffpunktet på kula være gitt ved vinkelen
Ved å benytte den trigonometriske identiteten og samtidig ignorere et minustegn, finner man herav det differensielle tverrsnittet
Det er uavhengig av vinkelen
Mer komplisert er Rutherford-spredning av to partikler som forårsakes av en frastøtende Coulomb-kraft mellom dem. Når den ene er mye tyngre enn den andre, vil bevegelsen til den andre følge en hyperbel på tilsvarende måte som at en planet ifølge Keplers lov beveger seg rundt solen i en ellipse når kraften mellom dem er tiltrekkende. Støtparameteren er i dette tilfellet gitt ved hyperbelens hovedakse a og spredningsvinkelen ved sammenhengen
Den gir nå det differensielle spredningstverrsnittet
som divergerer I fremover-retning der
Klassisk lysspredning[rediger | rediger kilde]
Klassisk beskrives lys som en elektromagnetisk bølge. Spredning av lys skjer ved at det elektriske feltet i bølgen påvirker ladninger i sprederen som så stråler ut nytt lys i forskjellige retninger ifølge Maxwells ligninger. Spredningstverrsnittet for en slik prosess kan defineres på tilsvarende vis som for spredning av partikler ved at fluksen av partikler i forskjellige retninger erstattes med intensiteten av strålingsenergi i disse retningene. Når lys beskrives kvantemekanisk som en strøm av fotoner, vil det ikke lenger være noen prinsipiell forskjell mellom disse to beskrivelsene.
Vanligvis er lysets bølgelengde mye større en utstrekningen til den elektrisk ladete partikkel som spreder det, vil den sende ut lys som er elektrisk dipolstråling når den settes i bevegelse av den innkommende bølgen. Den utstrålte energien innen romvinkelen d
hvor
Lorentz-oscillatoren[rediger | rediger kilde]
En enkel, men realistisk modell for klassisk lysspredning gir Lorentz-oscillatoren hvor den spredende partikkel er et elektron som er bundet i et molekyl ved en harmonisk kraft som gjør at det kan oscillere med en egenfrekvens
hvor konstanten
hvor r0 = e2/4
og det elektriske feltet til den innkommende bølgen. Tverrsnittet gjelder derfor for spredning av polarisert lys.[6]
Hvis man antar at lyset kommer inn langs z-aksen, er vinkelen
Spredningstverrsnittet har et maksimum når lyset har samme frekvens som egenfrekvensen til Lorentz-oscillatoren. Denne generelle effekten skyldes resonans mellom disse to svingningene.
Så lenge dempningsparameteren
Anvendelser[rediger | rediger kilde]
Når elektronet er løst bundet eller frekvensen til lyset er tilstrekkelig høy, kan man sette
I den motsatte grensen hvor elektronet er sterkt bundet til et molekyl slik at
for Rayleigh-spredning. Det er mye mindre enn Thomson-tverrsnittet, men øker raskt med frekvensen
Kvantemekanisk spredning[rediger | rediger kilde]
På samme måte som i klassisk mekanikk kan vekselvirkningen mellom to ikke-relativistiske partikler i kvantemekanikken beskrives som et tolegemeproblem og dermed reduseres til å omhandle én partikkel som påvirkes av den andre gjennom et statisk potensial. Hvis den innkommende partikkelen med masse m har kinetisk energi E = p2/2m, vil dens impuls skrives som p = ħ k hvor k er bølgetallet i Schrödingers bølgefunksjon som beskriver den når ħ er den reduserte Plancks konstant.
Når denne partikkelen beveger seg langs z-aksen med bølgevektor k, kan den beskrives ved den plane bølgefunksjonen eikz. Etter spredningen vil den bevege seg i retningen (
da k⋅r = kz = kr cos
der spredningsamplituden f (
Born-approksimasjon[rediger | rediger kilde]
Når potensialet som virker mellom de kolliderende partiklene er beskrevet ved funksjonen V(r), vil den spredte bølgen være en løsning av den stasjonære Schrödinger-ligningen som tar formen til en inhomogen Helmholtz-ligning,
Den har en generell løsning som er gitt ved
hvor den plane bølgen i det første leddet er en løsning av den homogene ligningen og G(r,r') er dens Green-funksjon. Denne er definert ved ligningen
som har løsningen
hvor det siste uttrykket gjelder for store avstander fra sprederen der r ≫ r' og k' = k r/r kan betraktes som bølgevektoren for den spredte partikkelen. Det generelle resultatet for spredningsamplituden kan derfor leses ut fra det siste leddet i den formelle løsningen. Her kan man for
Den laveste Born-approksimasjonen betyr å beholde bare det første leddet i rekkeutviklingen. Det tilsvarer første ordens perturbasjonsteori og gir det eksplisitte resultatet
for spredningsamplituden. Den er gitt som en Fourier-transformasjon av spredningspotensialet.
Coulomb-spredning[rediger | rediger kilde]
Den enkleste og viktigste anvendelse av første Born-approksimasjon er for Rutherford-spredning der det spredende potensial er Coulomb-potensialet
som virker mellom to partikler med elektrisk ladninger -e og Ze. De to bølgevektorene k og k' har samme lengde k og danner vinkelen
hvor bølgetallet k er gitt ved energien E = ħ2k2/2m til den innkommende partikkelen.[8]
Fourier-transformasjonen av Coulomb-potensialet kan finnes fra det mer generelle integralet
ved å ta grensen
- ,
og det differensielle tverrsnittet for Coulomb-spredning er
hvor ke = 1/4
Partialbølger[rediger | rediger kilde]
En viktig fremstilling av en generell spredningsprosess får man ved en partialbølgeutvikling av spredningsamplituden. Den er basert på at potensialet er rotasjonsymmetrisk slik kollisjonen er uavhengig av den asimutale vinkelen
Ekspansjonsparameteren ℓ er her kvantetallet som angir dreieimpulsen til partikkelen som spredes. Desst lavere energi denne har, desto mindre verdier har denne størrelsen og desto færre termer behøver man å ta med i rekkeutviklingen. Hver verdi av ℓ angir dermed en utgående kulebølge og parameteren
Ved å bruke ortogonalitet mellom Legendre-polynomene finner man herav det integrerte spredningstverrsnittet
Dette uttrykket er i overensstemmelse med det optiske teoremet som sier at tverrsnittet også er gitt ved den imaginære delen av spredningsamplituden i fremover-retning
Partialbølgemetiden kan også benyttes ved uelastisk spredning der den innkommende partikkelen taper energi eller ved at andre partikler blir samtidig skapt i prosessen. Dette kan formelt beskrives ved å la faseskiftene ta komplekse verdier. Da vil det være en forskjell mellom det totale virkningstverrsnittet som følger fra det optiske teoremet og det integrerte spredningstverrsnittet. Differensen omtales vanligvis for det «absorptive tverrsnittet» siden det skyldes et tap av partikler fra den innkommende strålen.
Småvinkelspredning[rediger | rediger kilde]
Kvantetallet ℓ i partialbølgeutviklingen angir dreieimpulsen til den spredte partikkelen. Denne er proporsjonal med impulsen p = ħ k til partikkelen som spredes. Ved høye energier vil derfor partialbølger med stadig høyere verdier av ℓ bidra. I tillegg viser eksperiment i kjernefysikk og partikkelfysikk ved slike energier at spredningen er konsentrert innen små vinkler.[10]
Under slike forhold kan summen over alle partialbølger ℓ erstattes med en integrasjon over en klassisk støtparameter b definert ved ℓ = bk. Samtidig kan Legendre-polynomet i ekspansjonen for små vinkler erstattes med Pℓ(cos
Spredningsamplituden kan dermed skrives som
hvor vektoren Q har lengde Q = k
Eikonalapproksimasjon[rediger | rediger kilde]
I store avstander fra sprederen beskrevet ved potensialet V(r) må bølgefunksjonen til den spredte partiklen oppfylle ligningen
Det siste leddet her gir direkte spredningsamplituden i laveste Born-approksimasjon når man setter
for den spredte bølgen hvor v = p/m er hastigheten til partikkelen. Denne modifikasjonen av den plane bølgen involverer Plancks konstant ħ og er derfor en kvantekorreksjon som kan føres tilbake til WKB-approksimasjonen i atomfysikken.[11]
Uttrykket for spredningsamplituden tar nå formen
etter oppsplittelsen r = (b,z) og innføring av Q = k - k' . Det gjenstående integralet kan bli ytterligere forenklet ved å benytte først at Q⋅r = Q⋅b for små spredningsvinkler. I tillegg kan de to siste faktorene i integralet kombineres til den deriverte av en eksponensialfunksjon slik at integrasjonen over z kan utføres. Dermed tar spredningsamplituden formen
- ,
men med det eksplisitte resultatet
for den generaliserte faseforskyvningen. For et gitt spredningspotensial kan denne derfor bestemmes ved en enkel integrasjon. Skulle potensialet ta komplekse verdier, vil dette bety absorpsjon av de innkommende partiklene og bety at funksjonen
Diffraksjonsspredning[rediger | rediger kilde]
Faseforskyvningen
som er det samme som opptrer for diffraksjon av lys gjennom en sirkulær åpning eller absorberende disk. Spredningstverrsnittet for partikler i denne grensen blir derfor vanligvis omtalt som «diffraksjonsspredning».[6]
Det integrerte spredningstverrsnittet blir nå
med stor nøyaktighet. Det er likt med det geometriske tverrsnittet til sprederen.[13]
For beregning av det totale virkingstverrsnittet
og er dobbelt så stort som det geometriske tverrsnittet. I tillegg til spreningstverrsnittet inneholder det også tverrsnittet for absorpsjon som har samme størrelse.[14]
Se også[rediger | rediger kilde]
Referanser[rediger | rediger kilde]
- ^ A. Pais, Inward Bound, Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.
- ^ O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, bind 2, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.
- ^ a b J.J. Brehm and W.J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter, John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.
- ^ H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).
- ^ D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
- ^ a b E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.
- ^ R.P. Feynman, Light Scattering, Lectures on Physics, Caltech (1963).
- ^ a b c R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, New York (1982). ISBN 0-306-40397-8.
- ^ a b D. J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.
- ^ a b H. Pilkuhn, The Interactions of Hadrons, North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1967).
- ^ R.G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, Springer-Verlag, New York (1982).
- ^ J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Benjamin/Cummings Publishing Co, Menlo Park (1985). ISBN 0-8053-7501-5.
- ^ J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.
- ^ H. Frauenfelder and E.M. Henley, Subatomic Physics, Prentice Hall, New Jersey (1974). ISBN 0-13-859082-6.