Grupoid

Grupoid, rzadziej magma – zbiór $G$ z określonym na nim dowolnym działaniem dwuargumentowym, czyli pewną funkcją

$\cdot \colon G\times G\to G$.

Zazwyczaj zamiast $\cdot (x,y)$ stosuje się notację multiplikatywną $x\cdot y$ lub po prostu $xy,$ rzadziej notację addytywną $x+y.$ Działanie opisywane notacją multiplikatywną nazywa się mnożeniem, a addytywną – dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Grupoid jest algebrą ${\mathcal {A}},$ której sygnatura składa się z jednej operacji 2-arnej.

Podgrupoidy i zbiory generujące

Niepusty podzbiór $P$ grupoidu $G$ nazywany jest podgrupoidem grupoidu $G,$ jeśli z $a\in P$ i $b\in P$ wynika, że

$ab\in P.$

Jeśli $A$ jest podzbiorem grupoidu $G,$ to część wspólna wszystkich podgrupoidów $G$ zawierających $A$ jest najmniejszym podgrupoidem grupoidu $G$ zawierającym zbiór $A;$ grupoid ten nazywany jest podgrupoidem grupoidu $G$ generowanym przez $A$ i oznaczany czasem przez symbol $\langle A\rangle .$ Na przykład w grupoidzie liczb naturalnych $\mathbb {N}$ z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem liczb parzystych. W grupoidzie liczb naturalnych $\mathbb {N}$ z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

W grupoidzie liczb naturalnych $\mathbb {N}$ z działaniem dodawania zbiorem generującym $\mathbb {N}$ jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych $\mathbb {N}$ z działaniem mnożenia zbiorem generującym $\mathbb {N}$ jest zbiór liczb pierwszych. Wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Rząd grupoidu

Jeśli $G$ jest grupoidem, to moc $|G|$ zbioru $G$ nazywamy jego rzędem. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą tablicy Cayleya. Grupoid $\mathbb {Z} _{4}$ reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo $\mathbb {Z} _{4}$ = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń), też jest rzędu 4.

Elementy neutralne grupoidu

W grupoidzie $G$ element $e$ ($f$) nazywamy lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym, jeśli dla każdego $x\in G$ spełniona jest równość $ex=x$ ($xf=x$). Jeśli grupoid $G$ zawiera zarówno lewostronny element neutralny $e,$ jak i prawostronny element neutralny $f,$ to $e=f,$ bo $e=ef=f.$ Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:

1. grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
2. grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
3. grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
4. grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

Ideały grupoidu

Jeśli $A$ i $B$ są podzbiorami grupoidu $G,$ to ich iloczynem $AB$ nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci $ab,$ gdzie $a\in A,b\in B.$ Jeśli $A=\{a\}(B=\{b\}),$ to iloczyn $AB$ zapisujemy $aB$ (odpowiednio $Ab$).

Lewym (prawym) ideałem grupoidu $G$ nazywamy taki niepusty podzbiór $A$ zbioru $G,$ że $GA\subseteq G$ $(AG\subseteq G).$ Ideałem dwustronnym, albo po prostu ideałem grupoidu $G$ nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych $\mathbb {N}$ z działaniem mnożenia ideałami są sumy mnogościowe zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid $G$ nazywamy grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym), jeśli $G$ jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy grupoidem pierwszym, jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli $A$ jest niepustym podzbiorem grupoidu $G,$ to część wspólna wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających $A$ nazywamy ideałem (odp. lewym, prawym lub obustronnym) generowanym przez $A.$

Homomorfizm grupoidów

Odwzorowanie $\varphi \colon G\to H,$ gdzie $(G,\circ )$ i $(H,\cdot )$ są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:

$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$

Jeśli homomorfizm grupoidów jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to jest nazywany izomorfizmem.

Przykłady

• grupa
• półgrupa
• monoid,
• quasi-grupa
• zbiór liczb naturalnych z działaniem potęgowania, tzn. $(\mathbb {N} ,^{\wedge }),$ gdzie $^{\wedge }(a,b)=a^{b}$
• zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania
• zbiór liczb naturalnych z działaniem mnożenia.

Bibliografia

• A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. American Mathematical Society, 1964. Brak numerów stron w książce
• A.G. Kurosz: Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1973. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Groupoid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Magma, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Magma (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].