Liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne – liczby rzeczywiste (ogólniej zespolone), będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

Dowodzi się, że dla każdej liczby algebraicznej $\alpha$ istnieje wielomian nierozkładalny nad $\mathbb {Q} ,$ którego pierwiastkiem jest $\alpha .$ Stopień tego wielomianu nazywamy stopniem liczby $\alpha .$

Zbiór liczb algebraicznych tworzy ciało. W 1882 Ferdinand Lindemann dowiódł, że liczba πぱい nie jest algebraiczna, czyli jest przestępna, i tym samym udowodnił, że kwadratura koła nie jest możliwa.

Przykłady

• Każda liczba wymierna ${\tfrac {p}{q}}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 1, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego $qx-p.$
• Liczba ${\sqrt {2}}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 2, bo jest pierwiastkiem wielomianu $x^{2}-2.$

Zobacz też

• ciało algebraicznie domknięte
• element algebraiczny
• liczba