Relacja przechodnia
własność relacji zdefiniowana pewną implikacją
Ten artykuł od 2021-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Relacja przechodnia (tranzytywna) – relacja, która jeśli zachodzi dla pary oraz pary , to zachodzi też dla pary [1][2].
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Diagrama_de_Hasse_abc.svg/220px-Diagrama_de_Hasse_abc.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Rock-paper-scissors.svg/langpl-220px-Rock-paper-scissors.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Paralelni_pravi.svg/220px-Paralelni_pravi.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Righthandedcartesian.png/220px-Righthandedcartesian.png)
Relację dwuczłonową nazywa się przechodnią, gdy:
Równoważnie, jest przechodnia dokładnie wtedy, gdy gdzie „” oznacza działanie składania relacji binarnych[potrzebny przypis].
Przechodniość jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i porządków częściowych (skierowań).
Przykłady
edytujRelacje przechodnie:
- każda relacja równoważności, np. równość,
- relacje częściowego porządku (skierowania) jak:
- niewiększość (⩽) i niemniejszość (⩾), np. liczb,
- zawieranie zbiorów (⊆, ⊇),
- podzielność (|) w zbiorze liczb naturalnych
- porządki ostre (ścisłe jak):
- relacje mniejszości (<) i większości (>),
- bycie przodkiem (wstępnym),
- braterstwo rodzone (ścisłe).
Przeciwprzechodniość
edytujWśród relacji nieprzechodnich szczególną klasą są przeciwprzechodnie, in. atranzytywne – zachodzenie ich dla par (x,y) i (y,z) gwarantuje, że nie zachodzą dla (x,z)[3]. Przykłady:
- prostopadłość prostych na płaszczyźnie,
- zwycięstwo jednego gestu nad innym w grze w papier, kamień, nożyce.
Relacje, które nie są ani przechodnie, ani przeciwprzechodnie:
- relacja różności „ ”: i ale
- przecinanie się zbiorów,
- względna pierwszość liczb,
- prostopadłość prostych w trójwymiarze,
- liniowa niezależność dwóch wektorów,
- przemienność komutacja funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych,
- współpłaszczyznowość (komplanarność) dwóch prostych, półprostych, odcinków lub wektorów,
- podgrupa normalna,
- rodzicielstwo – dziadkowie na ogół nie są rodzicami swoich wnuków, ale są wyjątki przez kazirodztwo.
Przypisy
edytuj- ↑ relacja przechodnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-11-22] .
- ↑ przechodniość, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-11-22] .
- ↑ atranzytywność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-11-22] .
Encyklopedie internetowe (endorelation):