Elipsoida Johna

Wersja do druku nie jest już wspierana i może powodować błędy w wyświetlaniu. Zaktualizuj swoje zakładki i zamiast funkcji strony do druku użyj domyślnej funkcji drukowania w swojej przeglądarce.

Elipsoida Johna lub Löwnera-Johna – pojęcie z zakresu geometrii wypukłej i teorii przestrzeni Banacha wprowadzone przez Fritza Johna w 1948 roku^[1].

Definicja

Niech X będzie n-wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech B_X oznacza kulę jednostkową w przestrzeni X. Elipsoidą Johna przestrzeni X nazywa się kulę względem metryki zadanej przez pewien iloczyn skalarny w X (hiperkula) zawartą w B_X o największej n-wymiarowej objętości

Istnienie elipsoidy Johna wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Jest ona ponadto wyznaczona jednoznacznie^[2].

Lemat Dvoretzky’ego-Rogersa

Niech X będzie n-wymiarową przestrzenią unormowaną. Niech ρろー_E oznacza normę euklidesową wprowadzoną przez elipsoidę Johna w X (tj. funkcjonał Minkowskiego elipsoidy Johna przestrzeni X). Istnieje wówczas taka baza ortonormalna (e_j)_{j ≤ n} w (X, ρろー_E), że

\|e_{j}\|_{X}\geqslant 2^{-{\frac {n}{n-j+1}}}\quad (j\leqslant n).

W szczególności,

\|e_{j}\|_{X}\geqslant {\frac {1}{4}}

dla j ≤ n / 2 + 1^[3].

Przypisy

↑ F. John, Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions, Studies and Essays Presented to R. Courant on His 60th Birthday, January 8, 1948, Interscience Publishers, New York, 1948, s. 187–204.
↑ Albiac i Kalton 2006 ↓, s. 290.
↑ Albiac i Kalton 2006 ↓, s. 299.

Bibliografia

F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.

[1] F. John, Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions, Studies and Essays Presented to R. Courant on His 60th Birthday, January 8, 1948, Interscience Publishers, New York, 1948, s. 187–204.

[CITEREFAlbiacKalton2006290-2] Albiac i Kalton 2006 ↓, s. 290.

[CITEREFAlbiacKalton2006299-3] Albiac i Kalton 2006 ↓, s. 299.

[1]

[2]

[3]