Epimorfizm
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Epimorphism-01.png)
Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów spełniony jest warunek[1]:
Epimorfizmy są odpowiednikami funkcji „na”, lecz nie są one z nimi tożsame. Pojęciem dualnym do epimorfizmu jest monomorfizm.
Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje epimorfizm jako homomorfizm „na” (surjektywny)[2]. Każdy epimorfizm w tym sensie algebraicznym jest epimorfizmem w sensie teorii kategorii, ale nie jest to prawdą we wszystkich kategoriach.
Epimorfizm konormalny
[edytuj | edytuj kod]Jeśli dany epimorfizm jest kojądrem jakiegoś morfizmu, to nazywany jest on wówczas epimorfizmem konormalnym[3].
Jeśli każdy epimorfizm danej kategorii jest epimorfizmem konormalnym, to nazywa się kategorią konormalną. Każda z kategorii Gr, Ab, Vect jest konormalna. Kojądro w tych kategoriach istnieje dla każdego morfizmu
Jest ono równe grupie ilorazowej gdzie jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Epimorfizmami w kategorii Set są odwzorowania „na”.
- Niech będzie epimorfizmem, a jednocześnie istnieje taki Niech Niech oraz
- dla
- Wtedy i co jest sprzeczne z tym, że jest epimorfizmem. Zatem nie istnieje i funkcja jest „na”.
- Morfizmy identycznościowe są epimorfizmami.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Semadeni i Wiweger 1978 ↓, s. 49.
- ↑ Epimorfizm, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29] .
- ↑ Semadeni i Wiweger 1978 ↓, s. 250.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
Literatura dodatkowa
[edytuj | edytuj kod]- Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
- Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).