Funkcja wymierna

Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.

Definicja

Jeśli

$g(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},$

$h(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}$

są funkcjami wielomianowymi o współczynnikach z dowolnego ciała $K,$ przy czym $h(x)\not \equiv 0$ (tj. nie wszystkie $b_{i}$ są zerami), to funkcję

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}},$

nazywa się funkcją wymierną.

Dziedziną funkcji $f(x)$ jest dziedzina funkcji $g(x)$ z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji $h(x).$

Przykłady i zastosowania

• Funkcja $f(x)={\tfrac {2(1+3x)}{3(1-x)^{2}}}$ jest wymierna.
• Wyrażenie $(1+x)^{y}$ nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
• Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
• Jeśli $g$ jest dowolnym wielomianem, a $h$ jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne $f={\tfrac {g}{h}}$ również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
• Funkcja $f(x)={\tfrac {ax+b}{cx+d}}$ jest wymierna. Jeżeli $ad-bc\neq 0$ to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla $c=0$ jest to funkcja liniowa).

• Pochodną funkcji arcus tangens jest funkcja wymierna, która może być użyta np. do przybliżania tej pierwszej.
• Rozkład Cauchy’ego w probabilistyce i statystyce,
• W optyce współczynnik załamania (gęstość optyczna) w ośrodkach dyspersyjnych jest często wymierną funkcją długości fali.

Własności

• Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli $P$ jest pierścieniem całkowitym oraz $P[x]$ jego pierścieniem wielomianów, to $K$ jest ciałem ułamków pierścienia $P[x].$
• Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą.
• Złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.
• Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną

Zobacz też

• całkowanie funkcji wymiernych
• funkcja niewymierna

Linki zewnętrzne

• Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-08-28]:
  • Szymon Charzyński, Przebieg zmienności funkcji wymiernej, 6 lipca 2013.
  • Piotr Stachura, Asymptoty poziome i pionowe funkcji wymiernej, 5 lipca 2014.
  • Szymon Charzyński, Analiza – całkowanie funkcji wymiernych, 18 lutego 2021.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Rational Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Rational function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].