Funkcje eliptyczne Jacobiego – funkcje eliptyczne zdefiniowane przez Carla Jacobiego; wykazują podobieństwo do funkcji trygonometrycznych.
Funkcje eliptyczne Jakobiego
i
to funkcje spełniające następujące warunki:
![{\displaystyle \operatorname {sn} (F(x,k^{2}),k^{2})=\sin x;\quad \operatorname {sn} (0,k^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef5ccf5bae24e3652f8dd3273a5b93a33d9b2c3)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (F(x,k^{2}),k^{2})=\cos x;\quad \operatorname {cn} (0,k^{2})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d62a09d68edf812b81caa37cfc99bedbf9a8f8)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (F(x,k^{2}),k^{2})={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}};\quad \operatorname {dn} (0,k^{2})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9207225578f4680975da74d33d26919b2ddaef23)
gdzie
to niezupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju.
Tw. Funkcje eliptyczne Jakobiego są funkcjami analitycznymi.
Definicje innych funkcji pochodzących od funkcji Jakobiego[edytuj | edytuj kod]
Definiuje się też inne funkcje utworzone z ilorazów funkcji Jakobiego (w analogii do funkcji trygonometrycznych tg x, ctg x, itd.; np. tg x = sin x/ coś x):
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ns} (u)&={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nc} (u)&={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nd} (u)&={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sc} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sd} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {dc} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {ds} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cs} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cd} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e359bafbfb9a822695ed9dac39e3c61bbb38724)
Dla
i
(
to zupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju) można zapisać okresy funkcji:
jako
oraz ![{\displaystyle 2iK'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3834a88d37b7f436a69c9de908071ba870fb25bd)
jako
oraz ![{\displaystyle 2K+2iK'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9486b45b81b61db2eaa71431f6c6b854a0a800c6)
jako
oraz ![{\displaystyle 4iK'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bf39e2c80cbcec91bf7241503b6269301360b9)
Funkcje Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste dla
a dla
i
redukują się do następujących funkcji:
![{\displaystyle \operatorname {sn} (x,0)=\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6d226e6513ed583d2a7688f321db1a9a543711)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (x,0)=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a14330a25ed0035d051c65750305f87e10bea3)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (x,0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918b5bafec3892b3df8fdb6123d7c895f4fe9866)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (x,1)=\operatorname {tgh} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1723e93665043ec30637057a02e66bb23ba0c99)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (x,1)=\operatorname {sech} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a377920dcc516322fe30b63e07f1fc8298976cdb)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (x,1)=\operatorname {sech} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb833e296da88dbfb6852bd7d3827b990cd934db)
Funkcje te spełniają też następujące zależności:
(por. jedynka trygonometryczna)
![{\displaystyle k^{2}s^{2}+d^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd13ee7c29845d9e42d73be8380e6f197e0e0f7)
gdzie
i
Ich pochodne dane są przez:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {sn} (x,k^{2})=cd}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69726226ad32732648bab1f171bd99b13ce927e)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {cn} (x,k^{2})=-sd}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe956d12924da32b166c8d030057cf5e43911d9)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {dn} (x,k^{2})=-k^{2}sc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e546ca3790d9fd9610d1ab85bf1c4b3942b53f91)
- XIII. Elliptic functions and integrals. W: Harry Bateman: Higher transcendental functions. T. II. 1953, s. 294–383.