Liczby Sierpińskiego

Liczby Sierpińskiego – nieparzyste liczby naturalne $k$ takie, że $k2^{n}+1$ jest liczbą złożoną dla dowolnego naturalnego $n$.

Zatem jeśli $k$ jest liczbą Sierpińskiego, to wszystkie liczby w poniższym zbiorze są złożone:

$A_{k}:=\left\{\,k2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.$

W roku 1960 Wacław Sierpiński wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych $k$ spełniających powyższy warunek.

Problem Sierpińskiego

Problem Sierpińskiego to zagadnienie znalezienia najmniejszej liczby Sierpińskiego.

W 1962 r., John Selfridge wykazał, że 78 557 jest liczbą Sierpińskiego. Ponadto wykazał on że jeśli $k=78\,557,$ to wszystkie liczby postaci $k2^{n}+1$ posiadają rozkład na czynniki pierwsze zawarte w zbiorze $\{3,5,7,13,19,37,73\}.$ Ponadto w 1967 r. Sierpiński i Selfridge postulowali (lecz nie potrafili wykazać) iż 78 557 jest najmniejszą liczbą Sierpińskiego, a więc jest rozwiązaniem problemu Sierpińskiego. Aby to udowodnić, trzeba wykazać, że wszystkie nieparzyste liczby mniejsze od 78 557 nie są liczbami Sierpińskiego. To znaczy, że istnieje takie $n$ że $k2^{n}+1$ jest liczbą pierwszą.

W listopadzie 2007 r. istniało tylko sześć liczb, które nie zostały wykluczone jako możliwe liczby Sierpińskiego i mogą stanowić rozwiązanie problemu. Seventeen or Bust, jest rozproszonym projektem obliczeniowym sprawdzającym te liczby. Jeśli projekt ten odnajdzie liczbę pierwszą właściwej postaci dla każdego z pozostałych $k,$ to problem Sierpińskiego zostanie ostatecznie rozwiązany.

Znane wyniki

Następujące $k$ zostały wykluczone przez projekt Seventeen or Bust.

Lp.	k	n	Cyfry dla k·2n+1	Data odkrycia	Znalezione przez
1	4 847	3 321 063	999 744	15 października 2005	Richard Hassler
2	5 359	5 054 502	1 521 561	6 grudnia 2003	Randy Sundquist
3	10 223	31 172 165	9 383 761	31 października 2016	Péter Szabolcs
4	19 249	13 018 586	3 918 990	26 marca 2007	Konstantin Agafonow
5	21 181
6	22 699
7	24 737
8	27 653	9 167 433	2 759 677	8 czerwca 2005	Derek Gordon
9	28 433	7 830 457	2 357 207	30 grudnia 2004	Anonymous
10	33 661	7 031 232	2 116 617	13 października 2007	Sturle Sunde
11	44 131	995 972	299 823	6 grudnia 2002	deviced (pseudonim)
12	46 157	698 207	210 186	26 listopada 2002	Stephen Gibson
13	54 767	1 337 287	402 569	22 grudnia 2002	Peter Coels
14	55 459
15	65 567	1 013 803	305 190	3 grudnia 2002	James Burt
16	67 607
17	69 109	1 157 446	348 431	7 grudnia 2002	Sean DiMichele

Bibliografia

• (ang.) Louis Helm, Phil Moore, Payam Samidoost, George Goldman. Resolution of the Mixed Sierpiński Problem. „Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory”. 8 (2008), #A61. [dostęp 2009-02-10]. (ang.). brak numeru strony

Linki zewnętrzne

• Seventeen or Bust (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sierpiński Number of the Second Kind, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].