Funkcja na płaszczyźnie zespolonej Niezmiennik
j
{\displaystyle j}
, inaczej
j
{\displaystyle j}
matematyczne wprowadzone przez Kleina , definiowalne na dwa sposoby:
Niezmiennik
j
,
{\displaystyle j,}
j
(
τ たう )
{\displaystyle j(\tau )}
τ たう
{\displaystyle \tau }
ℑ
τ たう >
0.
{\displaystyle \Im \tau >0.}
funkcji theta Jacobiego ,
j
{\displaystyle j}
j
(
τ たう )
=
32
[
ϑ
(
0
;
τ たう
)
8
+
ϑ
01
(
0
;
τ たう
)
8
+
ϑ
10
(
0
;
τ たう
)
8
]
3
[
ϑ
(
0
;
τ たう )
ϑ
01
(
0
;
τ たう )
ϑ
10
(
0
;
τ たう )
]
8
,
{\displaystyle j(\tau )=32{\frac {[\vartheta (0;\tau )^{8}+\vartheta _{01}(0;\tau )^{8}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{8}]^{3}}{[\vartheta (0;\tau )\vartheta _{01}(0;\tau )\vartheta _{10}(0;\tau )]^{8}}},}
gdzie
ϑ
,
{\displaystyle \vartheta ,}
ϑ
01
{\displaystyle \vartheta _{01}}
ϑ
10
{\displaystyle \vartheta _{10}}
j
{\displaystyle j}
j
(
τ たう )
=
g
2
3
Δ でるた
,
{\displaystyle j(\tau )={\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }},}
gdzie
g
2
{\displaystyle g_{2}}
szeregu Eisensteina (dokładnie, jako
60
G
2
,
{\displaystyle 60G_{2},}
G
2
{\displaystyle G_{2}}
Δ でるた
{\displaystyle \Delta }
wyróżnik modularny .
Niech
E
:
y
2
+
a
1
x
y
+
a
3
y
=
x
3
+
a
2
x
2
+
a
4
x
+
a
6
{\displaystyle E:y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}
będzie krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem . Zdefiniujmy:
b
2
=
a
1
2
+
4
a
2
,
b
4
=
a
1
a
3
+
2
a
4
,
b
6
=
a
3
2
+
4
a
6
,
b
8
=
a
1
2
a
6
−
a
1
a
3
a
4
+
a
2
a
3
2
+
4
a
2
a
6
−
a
4
2
,
c
4
=
b
2
2
−
24
b
4
,
c
6
=
−
b
2
3
+
36
b
2
b
4
−
216
b
6
{\displaystyle {\begin{array}{l}b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2},&b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6},&b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},&c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}\end{array}}}
oraz
Δ でるた
E
=
−
b
2
2
b
8
+
9
b
2
b
4
b
6
−
8
b
4
3
−
27
b
6
2
{\displaystyle \Delta _{E}=-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}}
(wyróżnik krzywej).
j
{\displaystyle j}
j
E
=
c
4
3
Δ でるた
.
{\displaystyle j_{E}={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}.}
W szczególnym przypadku, gdy charakterystyka ciała bazowego jest różna od 2 i 3, definicję tę możemy uprościć do postaci:
j
E
=
1728
c
4
3
c
4
3
−
c
6
2
.
{\displaystyle j_{E}=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}
j
,
{\displaystyle j,}
j
(
τ たう +
1
)
=
j
(
τ たう )
,
{\displaystyle j(\tau +1)=j(\tau ),}
j
(
−
1
τ たう
)
=
j
(
τ たう )
.
{\displaystyle j\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=j(\tau ).}
![{\displaystyle j(\tau )=32{\frac {[\vartheta (0;\tau )^{8}+\vartheta _{01}(0;\tau )^{8}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{8}]^{3}}{[\vartheta (0;\tau )\vartheta _{01}(0;\tau )\vartheta _{10}(0;\tau )]^{8}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17691bb70060817f0ecc1a29eb3c62b30f213ba3)
