Punkt regularny

Punkt regularny – punkt leżący na krzywej o tej własności, że przez punkt ten przechodzi dokładnie jedna styczna. Wszystkie punkty regularne krzywej tworzą łuk regularny.

Teoria różniczkowania

W ogólnej teorii różniczkowania, przez punkt regularny rozumie się następujące pojęcie:

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha oraz odwzorowanie $G\colon X\to Y$ będzie różniczkowalne w punkcie $x_{0}\in X$ takim, że $G(x_{0})=0.$ Punkt $x_{0}$ nazywamy punktem regularnym zbioru $M=\{x\ \in X\colon \;G(x)=0\},$ jeżeli pochodna odwzorowania $G$ w punkcie $x_{0}$ jest suriekcją $X\to Y.$

Szczególne przypadki

• Jeśli $Y=\mathbb {R} ,$ to punkt $x_{0}\in M\subseteq X$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy $G'(x_{0})\neq 0.$

• Jeśli natomiast $X=\mathbb {R} ^{m},Y=\mathbb {R} ^{n},m\leqslant n,G=(g_{1},\dots ,g_{n}),$ to punkt $x_{0}\in M\subseteq X$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

$\operatorname {r} \left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})\right]_{{1\leqslant i\leqslant n} \atop {1\leqslant j\leqslant m}}=m.$

Zobacz też

• przestrzeń styczna
• punkt osobliwy