Siedemnastokąt foremny

Siedemnastokąt foremny

Siedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych – każdy z nich ma miarę ${\tfrac {180^{\circ }\cdot (17-2)}{17}}\approx 158{,}82^{\circ }.$

Konstruowalność

Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796, pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później – składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne.

Konstrukcja Richmonda

Konstrukcja Richmonda

Jedną z elegantszych konstrukcji jest konstrukcja podana przez Herberta Williama Richmonda w 1893 roku:

1. Narysuj duży okrąg o środku w punkcie $O.$
2. Narysuj średnicę $UV.$
3. Skonstruuj symetralną tej średnicy, przecinającą okrąg w punkcie $A.$
4. Znajdź na odcinku $OA$ taki punkt $B,$ by długość $OB$ była równa ${\tfrac {1}{4}}$ długości $OA$ (dwukrotnie znajdując środek).
5. Narysuj odcinek $BV.$
6. Znajdź na odcinku $OV$ taki punkt $C,$ by kąt $\angle OBC$ był równy ${\tfrac {1}{4}}$ kąta $\angle OBV$ (dwukrotnie konstruując dwusieczną).
7. Znajdź na odcinku $UO$ taki punkt $D,$ by kąt $\angle DBC$ był równy połowie kąta prostego (miał miarę 45°).
8. Narysuj okrąg oparty na średnicy $DV.$ Punkt przecięcia tego okręgu z odcinkiem $OA$ oznacz $E.$
9. Narysuj okrąg o środku $C$ i promieniu $CE.$ Niech $F$ i $G$ będą punktami przecięcia tego okręgu ze średnicą $UV.$
10. Narysuj odcinki prostopadłe do średnicy $UV$ w punktach $F$ i $G.$ Punkty przecięcia tych odcinków z dużym okręgiem oznacz $V_{3}$ i $V_{5}.$
11. Punkty $V,$ $V_{3}$ i $V_{5}$ są kolejno zerowym, trzecim i piątym wierzchołkiem siedemnastokąta foremnego, pozostałe wierzchołki mogą być łatwo znalezione, np. wierzchołek $V_{4}$ poprzez skonstruowanie dwusiecznej kąta $\angle V_{3}OV_{5},$ a pozostałe poprzez odkładanie na okręgu odcinka $V_{3}V_{4}.$

Okręgi Carlyle’a

Konstrukcja z wykorzystaniem okręgów Carlyle’a

Inną znaną metodą konstrukcji siedemnastokąta foremnego jest algorytm wykorzystujący okręgi Carlyle’a:

1. Narysuj okrąg o środku $O.$
2. Przez punkt $O$ poprowadź poziomą prostą $k,$ punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz $Q$ i $P$ (po lewej i prawej stronie punktu $O$ odpowiednio).
3. Narysuj symetralną $l$ średnicy $QP,$ punkt jej przecięcia z okręgiem (znajdujący się ponad prostą $k$) oznacz $R.$
4. Narysuj symetralną $m$ promienia $QO,$ jego środek oznacz $S.$
5. Zakreśl łuk o środku $S$ przechodzący przez $P,$ jego przecięcie z prostą $m$ (poniżej prostej $k$) oznacz $T.$
6. Narysuj okrąg o środku $T$ przechodzący przez punkt $R,$ punkty jego przecięcia z prostą $k$ oznacz $A_{1}$ i $A_{0}$ (po lewej i prawej stronie prostej $l$ odpowiednio).
7. Znajdź środki odcinków $OA_{0}$ i $OA_{1}$ i oznacz je odpowiednio $U$ i $V.$
8. Zakreśl łuk o środku $U$ przechodzący przez $R,$ punkt jego przecięcia z prostą $k$ (po prawej stronie prostej $l$) oznacz $B_{0}.$
9. Zakreśl łuk o środku $V$ przechodzący przez $R,$ punkt jego przecięcia z prostą $k$ (po prawej stronie prostej $l$) oznacz $B_{1}.$
10. Znajdź na prostej $l$ taki punkt $W$ (powyżej prostej $k$), aby $|OW|=|QB_{1}|.$
11. Narysuj odcinek $WB_{0},$ znajdź jego środek i oznacz go $X.$
12. Narysuj okrąg o środku $X$ przechodzący przez $R,$ punkt jego przecięcia z prostą $k$ (położony po prawej stronie punktu $P$) oznacz $C_{0}.$
13. Narysuj okrąg o środku $C_{0}$ i promieniu $OP,$ punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz $P_{1}$ i $P_{16}.$
14. Punkty $P_{16},$ $P$ i $P_{1}$ są trzema kolejnymi wierzchołkami siedemnastokąta foremnego – pozostałe wierzchołki znajdujemy poprzez odkładanie odcinka $PP_{1}$ na wyjściowym okręgu.

Własności

Konstruowalność równoważna jest faktowi, że funkcje trygonometryczne kąta $2\pi /17$ można wyrazić jedynie przez cztery działania arytmetyczne oraz wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Książka Gaussa Disquisitiones Arithmeticae zawiera poniższy wzór, przedstawiony tu we współczesnej notacji:

$\cos {\frac {2\pi }{17}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}.$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Heptadecagon, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).