Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera
Transformacja Fouriera – pewien operator liniowy określany na pewnych przestrzeniach funkcyjnych , elementami których mogą być funkcje
n
{\displaystyle n}
zmiennych rzeczywistych. Opisuje ona rozkład tych funkcji w bazie ortonormalnej funkcji trygonometrycznych – za pomocą iloczynu skalarnego funkcji. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera . Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera .
Transformatę Fouriera[1] można określić dla funkcji
f
∈
L
1
(
R
n
)
{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
(gdzie
L
1
(
R
n
)
{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
) wzorem:
f
^
(
ξ くしー
)
=
∫
R
n
f
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
(
x
,
ξ くしー
)
d
x
,
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\ e^{-2\pi i(x,\xi )}\,dx,}
gdzie
i
{\displaystyle i}
– jednostka urojona
(
i
2
=
−
1
)
,
{\displaystyle (i^{2}=-1),}
a
(
x
,
ξ くしー
)
{\displaystyle (x,\xi )}
jest iloczynem skalarnym wektorów
x
,
ξ くしー
∈
R
n
.
{\displaystyle x,\xi \in \mathbb {R} ^{n}.}
Transformacja Fouriera jest też oznaczana przez
F
,
{\displaystyle {\mathcal {F}},}
wówczas transformata
f
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
jest oznaczana przez
F
[
f
(
x
)
]
(
ξ くしー
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f(x)\right](\xi ).}
Transformata
f
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
jest funkcją istotnie ograniczoną :
f
^
∈
L
∞
(
R
n
)
{\displaystyle {\hat {f}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
(wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a ).
W przypadku gdy funkcja
f
{\displaystyle f}
jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli
f
∈
L
1
(
R
n
)
∩
L
2
(
R
n
)
{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
), transformata
f
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:
F
:
L
1
(
R
n
)
∩
L
2
(
R
n
)
→
L
2
(
R
n
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).}
Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni
L
2
(
R
n
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
na siebie. W wielu praktycznych zastosowaniach w przypadku jednowymiarowym przedłużenie to jest równoważne obliczeniu wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej:
f
^
(
ξ くしー
)
=
lim
T
→
+
∞
∫
−
T
T
f
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
d
x
.
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}
Często przestrzeń
L
1
(
R
n
)
{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
ogranicza się do przestrzeni funkcji szybko malejących w nieskończoności
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
– przestrzeni funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych, dla których iloczyn dowolnej pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Ograniczona w ten sposób transformacja Fouriera jest również izometrią przestrzeni
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
na siebie.
W praktyce, często zmienna
x
{\displaystyle x}
oznacza czas (w sekundach ), a argument transformaty
ξ くしー
{\displaystyle \xi }
częstotliwość (w Hz =1/s). Funkcja
f
∈
L
2
(
R
1
)
{\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{1})}
może być zrekonstruowana z
f
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
poprzez transformację odwrotną :
f
(
x
)
=
lim
T
→
+
∞
∫
−
T
T
f
^
(
ξ くしー
)
e
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
d
ξ くしー
.
{\displaystyle f(x)=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .}
Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.
1. Transformacja z dziedziny czasu
t
{\displaystyle t}
w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej)
ω おめが
:
{\displaystyle \omega {:}}
f
^
(
ω おめが
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω おめが
t
d
t
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}
i transformacja odwrotna:
f
(
t
)
=
1
2
π ぱい
∫
−
∞
∞
f
^
(
ω おめが
)
e
i
ω おめが
t
d
ω おめが
,
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega ,}
gdzie:
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
– funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,
f
^
(
ω おめが
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,
ω おめが
=
2
π ぱい
T
=
2
π ぱい
ν にゅー
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={2\pi }\nu }
– pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji
ν にゅー
.
{\displaystyle \nu .}
2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu
t
{\displaystyle t}
w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej)
ω おめが
:
{\displaystyle \omega {:}}
f
^
(
ω おめが
)
=
1
2
π ぱい
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω おめが
t
d
t
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}
i transformacja odwrotna:
f
(
t
)
=
1
2
π ぱい
∫
−
∞
∞
f
^
(
ω おめが
)
e
i
ω おめが
t
d
ω おめが
.
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega .}
Czynnik
1
2
π ぱい
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie – zamiast takiej postaci może występować czynnik
1
2
π ぱい
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}
przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną.
Jeżeli jednak czynnik wynosi
1
2
π ぱい
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},}
wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni
L
2
(
R
)
.
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}
Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności .
W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
,
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
zob. też szereg Fouriera ) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału ).
Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja ‘s’ (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a ). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem
e
−
s
t
{\displaystyle e^{-st}}
w granicach od
−
∞
{\displaystyle -\infty }
do
∞
,
{\displaystyle \infty ,}
gdzie
s
{\displaystyle s}
jest liczbą zespoloną .
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}
Wyrażenie
e
−
s
t
{\displaystyle e^{-st}}
ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty
e
−
t
.
{\displaystyle e^{-t}.}
Transformacja ‘s’ uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe , ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji ‘s’. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla
s
=
i
ω おめが
.
{\displaystyle s=i\omega .}
Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera .
W przypadku jednowymiarowym funkcja
f
{\displaystyle f}
jest klasy
L
1
,
{\displaystyle L^{1},}
czyli jest całkowalna w przedziale
(
−
∞
,
∞
)
.
{\displaystyle (-\infty ,\infty ).}
f
^
{\displaystyle {\hat {f}}}
jest funkcją ciągłą . Nie musi natomiast być całkowalna w
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Jeśli
g
(
x
)
=
f
(
x
−
α あるふぁ
)
,
{\displaystyle g(x)=f(x-\alpha ),}
to
g
^
(
ξ くしー
)
=
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
d
x
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
−
α あるふぁ
)
e
−
2
π ぱい
i
(
x
−
α あるふぁ
)
ξ くしー
e
−
2
π ぱい
i
α あるふぁ
ξ くしー
d
x
=
e
−
2
π ぱい
i
α あるふぁ
ξ くしー
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
2
π ぱい
i
t
ξ くしー
d
t
=
e
−
2
π ぱい
i
α あるふぁ
ξ くしー
f
^
(
ξ くしー
)
.
{\displaystyle {\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\alpha )\ e^{-2\pi i(x-\alpha )\xi }e^{-2\pi i\alpha \xi }\,dx=e^{-2\pi i\alpha \xi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it\xi }\,dt=e^{-2\pi i\alpha \xi }{\hat {f}}(\xi ).}
Jeśli
α あるふぁ
≠
0
{\displaystyle \alpha \neq 0}
i
g
(
t
)
=
f
(
t
α あるふぁ
)
,
{\displaystyle g(t)=f\left({\frac {t}{\alpha }}\right),}
to
g
^
(
ξ くしー
)
=
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
d
x
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
α あるふぁ
)
e
−
2
π ぱい
i
x
α あるふぁ
(
α あるふぁ
ξ くしー
)
α あるふぁ
d
(
x
α あるふぁ
)
=
α あるふぁ
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
2
π ぱい
i
t
(
α あるふぁ
ξ くしー
)
d
t
=
α あるふぁ
f
^
(
α あるふぁ
ξ くしー
)
.
{\displaystyle {\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)\ e^{-2\pi i{\frac {x}{\alpha }}(\alpha \xi )}\alpha \,d\left({\frac {x}{\alpha }}\right)=\alpha \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it(\alpha \xi )}\,dt=\alpha {\hat {f}}(\alpha \xi ).}
f
∗
g
^
=
2
π ぱい
f
^
g
^
,
{\displaystyle {\widehat {f*g}}={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}{\hat {g}},}
gdzie operacja
∗
{\displaystyle *}
oznacza splot funkcji f i g
Jeśli pochodna funkcji
f
{\displaystyle f}
należy do
L
1
{\displaystyle L^{1}}
i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że:
f
′
^
(
ξ くしー
)
=
∫
−
∞
∞
f
′
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
d
x
=
f
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
|
−
∞
∞
+
2
π ぱい
i
ξ くしー
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
d
x
=
2
π ぱい
i
ξ くしー
f
^
(
ξ くしー
)
.
{\displaystyle {\hat {f'}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f'(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=f(x)e^{-2\pi ix\xi }{\Big |}_{-\infty }^{\infty }+2\pi i\xi \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi ).}
Funkcja
Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
^
(
ξ くしー
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}
f
^
(
ω おめが
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=}
1
2
π ぱい
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ω おめが
x
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx}
f
^
(
ν にゅー
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ν にゅー
x
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx}
101
a
⋅
f
(
x
)
+
b
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)}
a
⋅
f
^
(
ξ くしー
)
+
b
⋅
g
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )}
a
⋅
f
^
(
ω おめが
)
+
b
⋅
g
^
(
ω おめが
)
{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )}
a
⋅
f
^
(
ν にゅー
)
+
b
⋅
g
^
(
ν にゅー
)
{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )}
Liniowość
102
f
(
x
−
a
)
{\displaystyle f(x-a)}
e
−
2
π ぱい
i
a
ξ くしー
f
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )}
e
−
i
a
ω おめが
f
^
(
ω おめが
)
{\displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )}
e
−
i
a
ν にゅー
f
^
(
ν にゅー
)
{\displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )}
Przesunięcie oryginału w dziedzinie „czasu”
103
e
2
π ぱい
i
a
x
f
(
x
)
{\displaystyle e^{2\pi iax}f(x)}
f
^
(
ξ くしー
−
a
)
{\displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -a\right)}
f
^
(
ω おめが
−
2
π ぱい
a
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega -2\pi a)}
f
^
(
ν にゅー
−
2
π ぱい
a
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu -2\pi a)}
Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości, dualne względem 102
104
f
(
a
x
)
{\displaystyle f(ax)}
1
|
a
|
f
^
(
ξ くしー
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)}
1
|
a
|
f
^
(
ω おめが
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}
1
|
a
|
f
^
(
ν にゅー
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)}
Dla dużych wartości
|
a
|
,
{\displaystyle |a|,}
f
(
a
x
)
{\displaystyle f(ax)}
zawęża się wokół zera, a
1
|
a
|
f
^
(
ω おめが
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}
poszerza się i spłaszcza.
105
106
d
n
f
(
x
)
d
x
n
{\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}}
(
2
π ぱい
i
ξ くしー
)
n
f
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )}
(
i
ω おめが
)
n
f
^
(
ω おめが
)
{\displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )}
(
i
ν にゅー
)
n
f
^
(
ν にゅー
)
{\displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )}
Transformata pochodnej
107
x
n
f
(
x
)
{\displaystyle x^{n}f(x)}
(
i
2
π ぱい
)
n
d
n
f
^
(
ξ くしー
)
d
ξ くしー
n
{\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}}
i
n
d
n
f
^
(
ω おめが
)
d
ω おめが
n
{\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}
i
n
d
n
f
^
(
ν にゅー
)
d
ν にゅー
n
{\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}}
Ta właściwość jest dualna względem 106
108
(
f
∗
g
)
(
x
)
{\displaystyle (f*g)(x)}
f
^
(
ξ くしー
)
g
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )}
2
π ぱい
f
^
(
ω おめが
)
g
^
(
ω おめが
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )}
f
^
(
ν にゅー
)
g
^
(
ν にゅー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )}
Notacja
f
∗
g
{\displaystyle f*g}
oznacza splot funkcji
f
{\displaystyle f}
i
g
{\displaystyle g}
– tę właściwość określamy jako twierdzenie o splocie
109
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)}
(
f
^
∗
g
^
)
(
ξ くしー
)
{\displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )}
(
f
^
∗
g
^
)
(
ω おめが
)
2
π ぱい
{\displaystyle {\frac {({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}}
1
2
π ぱい
(
f
^
∗
g
^
)
(
ν にゅー
)
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )}
Właściwość dualna względem 108
110
Dla funkcji
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
rzeczywistej i parzystej
f
^
(
ω おめが
)
,
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega ),}
f
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
oraz
f
^
(
ν にゅー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )}
są funkcjami rzeczywistymi i parzystymi .
111
Dla funkcji
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
rzeczywistej i nieparzystej
f
^
(
ω おめが
)
,
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega ),}
f
^
(
ξ くしー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
oraz
f
^
(
ν にゅー
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )}
są funkcjami urojonymi i nieparzystymi .
W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności
S
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}
transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.
W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji[2] .
Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej .
Funkcja
Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
^
(
ξ くしー
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π ぱい
i
x
ξ くしー
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}
f
^
(
ω おめが
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=}
1
2
π ぱい
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ω おめが
x
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx}
f
^
(
ν にゅー
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ν にゅー
x
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx}
301
1
{\displaystyle 1}
δ でるた
(
ξ くしー
)
{\displaystyle \delta (\xi )}
2
π ぱい
⋅
δ でるた
(
ω おめが
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )}
2
π ぱい
δ でるた
(
ν にゅー
)
{\displaystyle 2\pi \delta (\nu )}
δ でるた
(
ξ くしー
)
{\displaystyle \delta (\xi )}
oznacza deltę Diraca .
302
δ でるた
(
x
)
{\displaystyle \delta (x)}
1
{\displaystyle 1}
1
2
π ぱい
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
1
{\displaystyle 1}
Co wynika z zasady 301.
303
e
i
a
x
{\displaystyle e^{iax}}
δ でるた
(
ξ くしー
−
a
2
π ぱい
)
{\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}
2
π ぱい
⋅
δ でるた
(
ω おめが
−
a
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)}
2
π ぱい
δ でるた
(
ν にゅー
−
a
)
{\displaystyle 2\pi \delta (\nu -a)}
Co wynika z własności 103 i 301.
304
cos
(
a
x
)
{\displaystyle \cos(ax)}
δ でるた
(
ξ くしー
−
a
2
π ぱい
)
+
δ でるた
(
ξ くしー
+
a
2
π ぱい
)
2
{\displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}
2
π ぱい
⋅
δ でるた
(
ω おめが
−
a
)
+
δ でるた
(
ω おめが
+
a
)
2
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}
π ぱい
(
δ でるた
(
ν にゅー
−
a
)
+
δ でるた
(
ν にゅー
+
a
)
)
{\displaystyle \pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right)}
Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu wzoru Eulera :
cos
(
a
x
)
=
(
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
)
/
2.
{\displaystyle \cos(ax)=(e^{iax}+e^{-iax})/2.}
305
sin
(
a
x
)
{\displaystyle \sin(ax)}
δ でるた
(
ξ くしー
+
a
2
π ぱい
)
−
δ でるた
(
ξ くしー
−
a
2
π ぱい
)
2
i
{\displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}
2
π ぱい
⋅
δ でるた
(
ω おめが
+
a
)
−
δ でるた
(
ω おめが
−
a
)
2
i
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)}{2i}}}
−
i
π ぱい
(
δ でるた
(
ν にゅー
+
a
)
−
δ でるた
(
ν にゅー
−
a
)
)
{\displaystyle -i\pi \left(\delta (\nu +a)-\delta (\nu -a)\right)}
Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu
sin
(
a
x
)
=
(
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
)
/
(
2
i
)
.
{\displaystyle \sin(ax)=(e^{iax}-e^{-iax})/(2i).}
306
cos
(
a
x
2
)
{\displaystyle \cos(ax^{2})}
π ぱい
a
cos
(
π ぱい
2
ξ くしー
2
a
−
π ぱい
4
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
1
2
a
cos
(
ω おめが
2
4
a
−
π ぱい
4
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
π ぱい
a
cos
(
ν にゅー
2
4
a
−
π ぱい
4
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
307
sin
(
a
x
2
)
{\displaystyle \sin(ax^{2})}
−
π ぱい
a
sin
(
π ぱい
2
ξ くしー
2
a
−
π ぱい
4
)
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
−
1
2
a
sin
(
ω おめが
2
4
a
−
π ぱい
4
)
{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
−
π ぱい
a
sin
(
ν にゅー
2
4
a
−
π ぱい
4
)
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
308
x
n
{\displaystyle x^{n}}
(
i
2
π ぱい
)
n
δ でるた
(
n
)
(
ξ くしー
)
{\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )}
i
n
2
π ぱい
δ でるた
(
n
)
(
ω おめが
)
{\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}
2
π ぱい
i
n
δ でるた
(
n
)
(
ν にゅー
)
{\displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )}
Gdzie
n
{\displaystyle n}
jest liczbą naturalną a
δ でるた
(
n
)
(
ξ くしー
)
{\displaystyle \delta ^{(n)}(\xi )}
jest
n
{\displaystyle n}
-tą pochodną delty Diraca. Wynika to ze 107 i 301. Stosując tę formułę z 101, można transformować dowolne wielomiany .
309
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
−
i
π ぱい
sgn
(
ξ くしー
)
{\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )}
−
i
π ぱい
2
sgn
(
ω おめが
)
{\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}
−
i
π ぱい
sgn
(
ν にゅー
)
{\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\nu )}
Gdzie
sgn
(
ξ くしー
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\xi )}
to funkcja znaku . Zauważmy, że
1
/
x
{\displaystyle 1/x}
nie jest dystrybucją. Własność przydatna w odniesieniu do transformaty Hilberta.
310
1
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}}
−
i
π ぱい
(
−
2
π ぱい
i
ξ くしー
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
sgn
(
ξ くしー
)
{\displaystyle -i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )}
−
i
π ぱい
2
⋅
(
−
i
ω おめが
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
sgn
(
ω おめが
)
{\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}
−
i
π ぱい
(
−
i
ν にゅー
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
sgn
(
ν にゅー
)
{\displaystyle -i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )}
Uogólnienie 309.
311
1
|
x
|
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}}}}
1
|
ξ くしー
|
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}}
1
|
ω おめが
|
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}}
2
π ぱい
|
ν にゅー
|
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\nu |}}}}
312
sgn
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
1
i
π ぱい
ξ くしー
{\displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }}}
2
π ぱい
⋅
1
i
ω おめが
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\omega }}}
2
i
ν にゅー
{\displaystyle {\frac {2}{i\nu }}}
Dualne do 309.
313
H
(
x
)
{\displaystyle H(x)}
1
2
(
1
i
π ぱい
ξ くしー
+
δ でるた
(
ξ くしー
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)}
π ぱい
2
(
1
i
π ぱい
ω おめが
+
δ でるた
(
ω おめが
)
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}
π ぱい
(
1
i
π ぱい
ν にゅー
+
δ でるた
(
ν にゅー
)
)
{\displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)}
Funkcja
H
(
x
)
{\displaystyle H(x)}
jest funkcją Heaviside’a; to wynika ze 101, 301 i 312.
314
∑
n
=
−
∞
∞
δ でるた
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)}
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ でるた
(
ξ くしー
−
k
T
)
{\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)}
2
π ぱい
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ でるた
(
ω おめが
−
2
π ぱい
k
T
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}
2
π ぱい
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ でるた
(
ν にゅー
−
2
π ぱい
k
T
)
{\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}
Funkcja grzebieniowa . Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
n
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
δ でるた
(
x
+
2
π ぱい
k
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)}
jako dystrybucje.
315
J
0
(
x
)
{\displaystyle J_{0}(x)}
2
rect
(
π ぱい
ξ くしー
)
1
−
4
π ぱい
2
ξ くしー
2
{\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}
2
π ぱい
⋅
rect
(
ω おめが
2
)
1
−
ω おめが
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}
2
rect
(
ν にゅー
2
)
1
−
ν にゅー
2
{\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}}
J
0
(
x
)
{\displaystyle J_{0}(x)}
funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
316
J
n
(
x
)
{\displaystyle J_{n}(x)}
2
(
−
i
)
n
T
n
(
2
π ぱい
ξ くしー
)
rect
(
π ぱい
ξ くしー
)
1
−
4
π ぱい
2
ξ くしー
2
{\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}
2
π ぱい
(
−
i
)
n
T
n
(
ω おめが
)
rect
(
ω おめが
2
)
1
−
ω おめが
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}
2
(
−
i
)
n
T
n
(
ν にゅー
)
rect
(
ν にゅー
2
)
1
−
ν にゅー
2
{\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}}
Uogólnienie 315. Funkcja
J
n
(
x
)
{\displaystyle J_{n}(x)}
jest funkcją Bessela
n
{\displaystyle n}
-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Funkcja
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju.
Zależność określającą transmitancję widmową
H
(
j
ω おめが
)
{\displaystyle H(j\omega )}
można wyznaczyć:
Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie
A
w
e
,
{\displaystyle A_{we},}
pulsacji
ω おめが
{\displaystyle \omega }
i fazie
p
w
e
{\displaystyle p_{we}}
x
(
t
)
=
A
w
e
e
j
(
ω おめが
t
+
p
w
e
)
,
{\displaystyle x(t)=A_{we}e^{j(\omega t+p_{we})},}
(gdzie
j
{\displaystyle j}
oznacza jednostkę urojoną ), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie
A
w
y
{\displaystyle A_{wy}}
i fazie
p
w
y
:
{\displaystyle p_{wy}{:}}
y
(
t
)
=
A
w
y
e
j
(
ω おめが
t
+
p
w
y
)
.
{\displaystyle y(t)=A_{wy}e^{j(\omega t+p_{wy})}.}
Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość
ω おめが
{\displaystyle \omega }
pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja
H
(
j
ω おめが
)
{\displaystyle H(j\omega )}
opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości
ω おめが
{\displaystyle \omega }
). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:
A
w
y
A
w
e
=
|
H
(
j
ω おめが
)
|
,
{\displaystyle {\frac {A_{wy}}{A_{we}}}=|H(j\omega )|,}
a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:
p
w
y
−
p
w
e
=
arg
(
H
(
j
ω おめが
)
)
.
{\displaystyle p_{wy}-p_{we}=\arg(H(j\omega )).}
Transmitancja
H
(
j
ω おめが
)
{\displaystyle H(j\omega )}
Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie
y
(
i
)
u
(
i
)
=
z
−
k
B
(
z
−
1
)
A
(
z
−
1
)
|
z
=
e
j
ω おめが
T
p
=
K
(
e
−
j
ω おめが
T
p
)
{\displaystyle {\frac {y(i)}{u(i)}}=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}|_{z=e^{j\omega T_{p}}}=K(e^{-j\omega T_{p}})}
definiuje dyskretną transmitancję widmową .
↑ Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe . PWN, 1993, s. 56–60. ISBN 83-01-10864-9 .
↑ David W. D.W. Kammler David W. D.W. , A First Course in Fourier Analysis , Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-578782-3 , OCLC 43118245 . Brak numerów stron w książce
Polskojęzyczne
Anglojęzyczne
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Fourier Transform , [w:] MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) .
Interaktywne wprowadzenie do transformacji Fouriera [Angielski z animacjami]
Grant Sanderson, But what is the Fourier Transform? A visual introduction , kanał 3blue1brown , YouTube , 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].
Aled Walker, F is for Fourier Transform (ang. ) , Oxford University Mathematical Institute , maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].
transformacje całkowe
inne transformacje
w rachunku prawdopodobieństwa