Zbiór brzegowy

Zbiór brzegowy – podzbiór przestrzeni topologicznej, który nie zawiera żadnego niepustego zbioru otwartego.

Zbiór brzegowy nie musi być równy swojemu brzegowi. Zbiór liczb wymiernych na prostej rzeczywistej jest brzegowy ${\text{int}}\;\mathbb {Q} =\emptyset$, ale jego brzegiem jest zbiór liczb rzeczywistych ${\text{bd}}\;\mathbb {Q} ={\text{cl}}\;\mathbb {Q} \setminus {\text{int}}\;\mathbb {Q} =\mathbb {R}$.

Własności

Następujące warunki są równoważne:

(i) A jest brzegowy,

(ii) A ma puste wnętrze,

(iii) dopełnienie zbioru A jest zbiorem gęstym.

Przykłady

Następujące zbiory są brzegowe w odpowiednich przestrzeniach topologicznych:

• punkt na płaszczyźnie euklidesowej,
• wykres dowolnej funkcji na płaszczyźnie euklidesowej,
• zbiór liczb wymiernych na prostej rzeczywistej,
• zbiór liczb niewymiernych na prostej rzeczywistej.

Zobacz też

• twierdzenie Baire’a
• René-Louis Baire

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk: Topologia. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2023. ISBN 978-83-01-23146-0.