Axioma da substituição
Em teoria dos conjuntos, o axioma da substituição é um esquema de axiomas que garante a existência de um conjunto que é imagem de outro conjunto. Em termos simples, se existe alguma regra tal que y = f(x) se comporta como se f fosse uma função para todo x, , então existe um conjunto B de todos os y = f(x), . Este axioma é essencial para a construção de determinados conjuntos infinitos.
Enunciado[editar | editar código-fonte]
Seja P(x,y) uma propriedade tal que para todo x existe um único y para o qual P(x,y) é válida. Para todo conjunto A, existe um conjunto B tal que, para todo x, , existe para o qual P(x,y) é válida.
Esquema axiomático da substituição[editar | editar código-fonte]
Seja uma fórmula com ao menos duas variáveis livres,
Exemplo[editar | editar código-fonte]
The número ordinal
Aspecto histórico[editar | editar código-fonte]
O Axioma da substituição é um esquema de axiomas da teoria dos conjuntos introduzidas de forma independente em 1922 por Abraham Adolf Fraenkel e Skolem Thoralf . Ela garante a existência de conjuntos que não poderiam ser obtidos na teoria dos conjuntos de Ernst Zermelo , e fornece um quadro mais fiel à teoria dos conjuntos axiomática de Georg Cantor . Ao adicionar a teoria de Zermelo, o esquema do axioma da substituição, obtemos a teoria de Zermelo-Fraenkel, ZF (ou ZFC, dependendo se se inclui ou não o axioma da escolha).
A inclusão de substituição envolve uma grande diferença a partir do ponto de vista da Teoria da Prova : a adição deste esquema para os axiomas de Zermelo torna este sistema logicamente muito mais forte, permitindo a demonstração de muitas afirmações. Em particular, ZF pode provar a consistência de Z por meio da construção do universo de von Neumann, V
Independência[editar | editar código-fonte]
O axioma da substituição não pode ser demonstrado a partir do resto da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), já que podemos construir um modelo em que o resto dos axiomas são verdadeiros, bem como a negação do axioma da substituição.
Utilização[editar | editar código-fonte]
O esquema de axiomas da substituição é útil por exemplo para as definições por indução em uma boa ordem . Assim, em teoria dos conjunto de Zermelo, isto é, na ausência do regime de substituição, não podemos demonstrar que qualquer conjunto bem ordenada é isomorfo a um ordinal von Neumann. Mas o regime de substituição é "inútil" se a relação funcional em jogo é um conjunto de pares , isto é, para dizer se é uma função no sentido da teoria dos conjuntos. Neste caso, o esquema de axioma de compreensão , que é simples de entender e usar, basta, basicamente, (você precisa do axioma do par). Além disso, o Axioma da compreensão é uma conseqüência - diria mesmo um caso especial - do Axioma da substituição. Da mesma forma o Axioma do par é deduzido a partir do Axioma da substituição, na presença do Axioma da potência
Relação com o axioma da compreensão[editar | editar código-fonte]
O esquema de axiomas da compreensão pode ser obtida quase inteiramente a partir do esquema de axiomas da substituição. Por isso, o esquema de axiomas da compreensão é muitas vezes omitido nas listas modernas dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. No entanto, ainda é importante por razões históricas, e as comparações com axiomatizações alternativas da teoria dos conjuntos. Por exemplo, a derivação do esquema da especificação explora o Lei do terceiro excluído e, depois a especificação não pode ser omitida em uma teoria definida intuicionista .
Ver também[editar | editar código-fonte]