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Em matemática , a fórmula de Leibniz para π ぱい , que leva o nome de Gottfried Wilhelm Leibniz , estabelece que
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
−
⋯
=
π ぱい
4
.
{\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!}
Usando a notação de somatório :
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
=
π ぱい
4
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!}
A série infinita acima é denominada série de Leibniz . É também denominada série de Gregory-Leibniz , reconhecendo o trabalho de James Gregory . A fórmula foi descoberta por Madhava de Sangamagrama [ 1] sendo assim denominada série de Madhava–Leibniz .[ 2]
π ぱい
4
=
arctan
(
1
)
=
∫
0
1
1
1
+
x
2
d
x
=
∫
0
1
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
x
2
k
+
(
−
1
)
n
+
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
2
k
+
1
+
(
−
1
)
n
+
1
∫
0
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\;=\;\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}+(-1)^{n+1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}
Considerando somente a integral na última linha temos:
0
<
∫
0
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
d
x
<
∫
0
1
x
2
n
+
2
d
x
=
1
2
n
+
3
→
0
com
n
→
∞
.
{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\;<\;\int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0{\text{ com }}n\rightarrow \infty .\!}
Portanto, com
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
obtemos a série de Leibniz:
π ぱい
4
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
+
1
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}.}
A fórmula converge lentamente. Para calcular π ぱい com 10 dígitos decimais corretos usando soma direta são necessários aproximadamente 5 bilhões de termos porque
1
2
k
+
1
<
10
−
10
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2k+1}}<10^{-10}}
for
k
>
10
10
−
1
2
{\displaystyle \scriptstyle k>{\frac {10^{10}-1}{2}}}
.
Contudo, a fórmula de Leibniz pode ser usada para calcular π ぱい com grande precisão (centenas de dígitos ou mais) usando várias técnicas de aceleração de convergência. Por exemplo, a transformação de Shanks , transformação binomial ou transformação de Van Wijngaarden , que são métodos gerais para séries alternadas, podem ser aplicadas para as somas parciais da série de Leibniz. Adicionalmente, combinando termos aos pares fornece a série não alternada
π ぱい
4
=
∑
n
=
0
∞
(
1
4
n
+
1
−
1
4
n
+
3
)
=
∑
n
=
0
∞
2
(
4
n
+
1
)
(
4
n
+
3
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}{\bigg )}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}
que pode ser avaliada com grande precisão com pequeno número de termos, usando extrapolação de Richardson ou a fórmula de Euler–Maclaurin . Esta série pode também ser transformada em uma integral mediante a fórmula de Abel–Plana e avaliada usando técnicas de integração numérica .
Referências
↑ George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy (1999), Special Functions , ISBN 0521789885 , Cambridge University Press , p. 58
↑ Gupta, R. C. (1992), «On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series», Ganita Bharati , 14 (1-4): 68–71