Fórmula de Tanaka
Em cálculo estocástico, a fórmula de Tanaka, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka, afirma que:[1]
,
em é o movimento browniano padrão, denota a função sinal
,
e é seu tempo local em 0 (o tempo local gasto por em 0 antes do tempo ) dado pelo limite L²
- .
Propriedades
[editar | editar código-fonte]A fórmula de Tanaka é a decomposição de Doob–Meyer explícita do submartingale na parte martingale (a integral do lado da mão direita) e em um processo contínuo crescente (tempo local). Também pode ser vista como o análogo do lema de Itō para a função modular (não suave) , com e .[2]
Descrição da prova
[editar | editar código-fonte]A função não é C² em com , de modo que não podemos aplicar a fórmula de Itō diretamente. Mas, se a aproximarmos a quase zero (isto é, em ) por parábolas,
,
e, usando a fórmula de Itō, podemos então assumir o limite como , o que leva à fórmula de Tanaka.[3]
Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ Tanaka, Hiroshi; Maejima, Makoto; Shiga, Tokuzo (2002). Stochastic Processes: Selected Papers of Hiroshi Tanaka (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810245917
- ↑ Nikolaevich., Shiri︠a︡ev, Alʹbert (1999). Essentials of stochastic finance: facts, models, theory. Singapore: World Scientific. ISBN 9810236050. OCLC 40425666
- ↑ 1945-, Øksendal, B. K. (Bernt Karsten), (2003). Stochastic differential equations : an introduction with applications 6th ed. Berlin: Springer. ISBN 3540047581. OCLC 52203046