Planul complex
În matematică, planul complex sau planul z este o reprezentare geometrică a numerelor complexe într-un plan geometric definit de axa reală și axa imaginară, ortogonale. El poate fi asemuit planului cartezian, cu reprezentarea părții reale a unui număr complex de-a lungul axei x, iar a părții imaginare de-a lungul axei y.
Conceptul de plan complex permite interpretarea geometrică și trigonometrică (formula lui Euler, formula lui Moivre) a numerelor complexe și folosirea lor în probleme de geometrie. În figura alăturată, distanța de-a lungul liniei albastre de la origine până la punctul z este modulul lui z, iar unghiul
Numerele complexe de modul unu sunt situate pe un cerc trigonometric. Totalitatea sau mulțimea numerelor complexe de același modul și argumente din intervalul [0, 2
Uneori planul complex este numit și planul Argand deoarece este folosit în diagramele Argand. Acestea sunt numite după Jean Robert Argand (1768–1822).[1] Folosită pentru vizualizarea dreptei complexe, diagrama Argand se bazează pe faptul că un număr complex poate fi reprezentat ca o pereche ordonată de numere reale. Riguros spus: corpul numerelor complexe (dreapta complexă) este un spațiu vectorial de dimensiune doi (planul real) peste sub-corpul numerelor reale.
Reprezentarea prin coordonate
[modificare | modificare sursă]Planul complex permite formularea unei geometrii analitice în coordonata complexă z similare geometriei analitice bazate pe coordonate carteziene și polare.[2][necesită sursă mai bună]
Dreapta complexă, ca orice altă dreaptă, este determinată (prin coordonate) de două puncte 0 și 1. Diferență dintre planul real și dreapta complexă apare din faptul că planul real are nevoie de trei puncte pentru a fi determinat (prin coordonate) : (0,0), (1,0) și (0,1).
Însă o dată stabilită polaritatea lui i (cu plus sau cu minus) și asocierea lui cu (0,1), planul real, în înțelesul geometric, oferă o bună reprezentare pentru numerele complexe.
Diferența dintre planul real și dreapta complexă apare mai evident atunci când se completează cele două structuri până la proiectivitate:
- pentru a deveni un plan proiectiv(d), planul real mai are nevoie în plus de o dreaptă de la infinit (a orizontului) și de un punct de la infinit.
- pentru a deveni o dreaptă proiectivă complexă (corp complet), dreapta proiectivă mai are nevoie de un singur punct, punctul de la infinit.
Planul complex în demonstrații geometrice
[modificare | modificare sursă]În consecință, orice teoremă din geometria plană clasică poate avea și o demonstrație cu numere complexe, alături de una analitică și una vectorială.