Параллелограмм: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

← Предыдущая правка Следующая правка →

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Версия от 08:04, 21 марта 2022 править ·1e0nid· (обсуждение \| вклад) Загружающие 27 159 правок м →Преамбула: оформление перевода, внутренние ссылки ← Предыдущая правка		Версия от 16:01, 14 июня 2024 править отменить Bezik (обсуждение \| вклад) Патрулирующие, Администраторы 58 957 правок оформление, стандартизация, внос См. также Следующая правка →
(не показаны 43 промежуточные версии 17 участников)
Строка 1: [[Файл:Параллелограмм.svg\|~~thumb\|331x331px~~мини\|Параллелограмм]] '''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc\|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2\|~~[[wikt:~~παράλληλος~~#Греческий\|παράλληλος]]~~}} «— параллельный» + {{lang-grc2\|~~[[wikt:~~γραμμή~~#Греческий\|γραμμή]]~~}} «— линия») — ~~это~~ [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые\|параллельных прямых]].{{sfn ~~Частными~~\|Справочник ~~случаями~~по ~~параллелограмма~~элементарной ~~являются~~математике\|2006\|с=332—333\|name=VYG}}. ~~[[прямоугольник]],~~Существуют ~~[[квадрат]]~~другие иварианты ~~[[ромб]]~~определения{{переход\|#Признаки параллелограмма}}. {{Якорь\|Ромбоид}}Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]] (все углы прямые), [[ромб]] (все стороны равны) и [[квадрат]] (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ''ромбоидом'' (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался [[дельтоид]]). == Свойства == [[~~File~~Файл:Свойства параллелограмма.svg\|thumb\|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]] [[~~File~~Файл:Противоположные углы параллелограмма.svg\|thumb\|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]] * Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). * Противолежащие углы параллелограмма равны. * Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). * Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: : <math>\left\|AO\right\| = \left\|OC\right\|, \left\|BO\right\| = \left\|OD\right\|</math>. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии\|центром симметрии]] параллелограмма. * Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)\|равных]] треугольника. * [[Средние линии четырёхугольника\|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. ▼ * [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть ''а'' — длина стороны ''AB'', ''b'' — длина стороны ''BC'', <math> d_1 </math> и <math>d_2 </math> — длины диагоналей; тогда▼ : '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math> '''▼ : Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника\|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.▼ [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.▼ ▲Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии\|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)\|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника\|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. == Признаки параллелограмма ==▼ [[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):▼ ▲ [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: ~~пусть ''а'' — длина стороны ''AB'', ''b'' — длина стороны ''BC'', <math> d_1 </math> и <math>d_2 </math> — длины диагоналей; тогда~~ # У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>.▼ ▲: ~~'''~~<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math> ~~'''~~, # Все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>.▼ где <math>a</math> и <math>b</math> — длины смежных сторон, а <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей. # У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD, BC=DA</math>.▼ ▲: Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника\|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю. # Все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD, BC \parallel DA</math>. ▼ # Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC, BO = OD</math>.▼ # Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.▼ # Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.▼ ▲ [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат. ~~== Площадь параллелограмма ==~~ : ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь\|площади произвольных четырёхугольников]].'' Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ([[вариньонов параллелограмм]]). ~~Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:~~ ▲== Признаки параллелограмма == ~~: <math>S = ah</math> , где <math>a</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне.~~ ▲[[Четырёхугольник]] <math>\square ABCD</math> является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные): ▲#* Уу четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD,</math> и <math>AB \parallel CD</math>.; ▲#* ~~Все~~все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C,</math> и <math>\angle B = \angle D</math>.; ▲#* Уу четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD,</math> и <math>BC=DA</math>.; ▲#* ~~Все~~все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD,</math> и <math>BC \parallel DA</math>. ; ▲#* ~~Диагонали~~диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC,</math> и <math>BO = OD</math>., где <math>O</math> — точка пересечения диагоналей; ▲#* ~~Сумма~~сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.; ▲#* ~~Сумма~~сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>. == Площадь параллелограмма ~~равна произведению его сторон и [[синус]]<nowiki/>а угла между ними:~~== [[Файл:ParallelogramArea.svg\|мини\|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]] Площадь параллелограмма равна произведению его основания на [[Высота (геометрия)\|высоту]]: <math>S = bh</math>, где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и [[синус]]а угла <math>\alpha</math> между ними: <math>S = ab\sin \alpha</math>. ~~Также~~Ещё ~~площадь~~один ~~параллелограмма~~способ ~~может~~определения ~~быть~~площади ~~выражена~~параллелограмма — через ~~стороны~~длины смежных сторон <math>a,\</math> и <math>b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона\|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников<ref>[https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона]</ref>:▼ : <math>S =2 ab\~~sin~~cdot \~~alpha,~~sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>, : где <math>p=(a+b+d)/2.</math>.▼ ~~: где <math>a</math> и <math>b</math> — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>.~~ ▲Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона\|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников: ~~: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>~~ ▲: где <math>p=(a+b+d)/2.</math> ~~== См. также ==~~ * [[Параллелепипед]] * [[Прямоугольник]] * [[Ромбоид]] * [[Теорема Вариньона (геометрия)\|Параллелограмм Вариньона]] * [[Теорема Тебо\|Теорема Тебо 1]] == Примечания == {{Викисловарь\|параллелограмм}} {{примечания}} == Литература == * {{книга \|автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич\|Выгодский М. Я.]] \|место=М. \|издательство=АСТ \|год=2006 \|заглавие=Справочник по элементарной математике \|ref=Справочник по элементарной математике \|страниц=509 \|isbn=5-17-009554-6}} == Ссылки == * {{h\|MathWorld\|3={{mathworld\|title=Parallelogram\|urlname=Parallelogram}}}} ~~{{rq\|source}}~~ {{Многоугольники}} {{ВС}} [[Категория:Четырёхугольники]]