|
[[Файл:Параллелограмм.svg|thumb|331x331pxмини|Параллелограмм]]
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|[[wikt:παράλληλος#Греческий|παράλληλος]]}} «— параллельный» + {{lang-grc2|[[wikt:γραμμή#Греческий|γραμμή]]}} «— линия») — это [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]].{{sfn Частными|Справочник случаямипо параллелограммаэлементарной являютсяматематике|2006|с=332—333|name=VYG}}. [[прямоугольник]],Существуют [[квадрат]]другие иварианты [[ромб]]определения{{переход|#Признаки параллелограмма}}.
{{Якорь|Ромбоид}}Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]] (все углы прямые), [[ромб]] (все стороны равны) и [[квадрат]] (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ''ромбоидом'' (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался [[дельтоид]]).
== Свойства ==
[[FileФайл:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]]
[[FileФайл:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]]
* Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
* Противолежащие углы параллелограмма равны.
* Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
*: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>.
* Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма.
* Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника.
* [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. ▼* [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть ▼: <math>a</math> — длина стороны <math>AB</math>,
: <math>b</math> — длина стороны <math>BC</math>,
: <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей; тогда ▼:: '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math> ''' ▼: Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю. ▼* [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат. ▼
▲*Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
== Признаки параллелограмма == ▼[[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные): ▼
▲* [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
# У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>. ▼▲:: '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2) .</math> ''',
# Все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>. ▼▲:где <math>a</math> и <math>b</math> — длины смежных сторон, а <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей ; тогда.
# У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD, BC=DA</math>. ▼▲: Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей ''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
# Все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD, BC \parallel DA</math>. ▼# Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC, BO = OD</math>. ▼# Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру. ▼# Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>. ▼
▲* [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
== Площадь параллелограмма ==
: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].''
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ([[вариньонов параллелограмм]]).
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
▲== Признаки параллелограмма ==
: <math>S = ah</math> , где <math>a</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне.
▲[[Четырёхугольник]] <math>\square ABCD </math> является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
▲#* Уу четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD ,</math> и <math>AB \parallel CD</math> .;
▲#* Всевсе противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C ,</math> и <math>\angle B = \angle D</math> .;
▲#* Уу четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD ,</math> и <math>BC=DA</math> .;
▲#* Всевсе противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD ,</math> и <math>BC \parallel DA</math> . ;
▲#* Диагоналидиагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC ,</math> и <math>BO = OD</math> ., где <math>O</math> — точка пересечения диагоналей;
▲#* Суммасумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру .;
▲#* Суммасумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.
== Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и [[синус]]<nowiki/>а угла между ними:==
[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]]
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на [[Высота (геометрия)|высоту]]: <math>S = bh</math>, где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и [[синус]]а угла <math>\alpha</math> между ними: <math>S = ab\sin \alpha</math>.
ТакжеЕщё площадьодин параллелограммаспособ можетопределения бытьплощади выраженапараллелограмма — через стороныдлины смежных сторон <math>a ,\</math> и <math>b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников <ref>[https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона]</ref>: ▼: <math>S =2 ab\sincdot \alpha,sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>,
: где <math>p=(a+b+d)/2 .</math> .▼: где <math>a</math> и <math>b</math> — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>.
▲Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>
▲: где <math>p=(a+b+d)/2.</math>
== См. также ==
* [[Параллелепипед]]
* [[Прямоугольник]]
* [[Ромбоид]]
* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]]
* [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]]
== Примечания ==
{{Викисловарь|параллелограмм}}
{{примечания}}
== Литература ==
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006
|заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
|страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}}
== Ссылки ==
* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Parallelogram|urlname=Parallelogram}}}}
{{rq|source}}
{{Многоугольники}}
{{ВС}}
[[Категория:Четырёхугольники]]
| 