Параллелограмм: различия между версиями

 

====== Существование параллелограмма{{нет значимости|17|04|2023}} ======

Отметим, что для того чтобы параллелограмм с высотами <math>h_a</math> и <math>h_b</math>, опущенными из одной вершины, существовал, необходимо, чтобы его площадь была <math>S \geqslant h_{a}\cdot h_{b}</math> (кв. ед.)<ref>{{Публикация|Книга|заглавие=Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия|ссылка=https://file.11klasov.net/15587-geometricheskie-zadachi-na-jekzamenah-v-3-chastjah-shahmejster-ah.html|год=2015|автор=Шахмейстер А. Х.|ref=Шахмейстер|язык=|вид=книга|часть=Трапеция|ответственный=А. Х. Шахмейстер|место=СПб.|издательство=«Петроглиф» : «Виктория плюс»|место2=М.|издательство2=Издательство МЦНМО|страницы=179|страниц=392|иллюстрации=илл.|размеры=21 см|серия=Математика. Элективные курсы|тираж=1500|ббк=22.141я71.6|удк=373.167.1:512|isbn=978-5-98712-083-5|isbn2=978-5-91673-155-2|isbn3=978-5-4439-0347-7}}</ref>.

{{Доказательство|'''Метод площадей'''. Пусть дан параллелограмм <math>\mathcal{ABCD}</math> со сторонами <math>\mathcal{AB=a}</math> и <math>\mathcal{BC=b}</math>, в котором проведены из одной вершины <math>\mathcal{B}</math> высоты <math>h_{\mathcal a}</math> и <math>h_{\mathcal b}</math>. Тогда площадь <math>S_{\mathcal{ABCD}}</math> параллелограмма можно вычислить как <math>S_{\mathcal{ABCD}} = a\cdot h_{\mathcal a}</math>, но в то же самое время <math>S_{\mathcal{ABCD}} = b\cdot h_{\mathcal b}</math>.<br> Получим систему <math>\begin{cases} a=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_a} \\ b=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_b} \end{cases}</math>, но <math>\begin{cases} a=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_a}\geqslant h_{b} \left(a\geqslant h_{b} \text{ — свойство прямоугольного треугольника}\right)\\ b=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_b}\geqslant h_{a} \left(b\geqslant h_{a} \text{ — свойство прямоугольного треугольника}\right)\end{cases}</math>. Следовательно, <math>S_{\mathcal{ABCD}} \geqslant h_{a}\cdot h_{b}</math>.}}