Полуширина

Ширина на уровне половинной амплитуды

Ширина на уровне половинной амплитуды

Полная ширина на уровне половины высоты или ширина (англ. full width at half maximum, FWHM) — полная ширина, рассчитанная как разница между максимальным и минимальным значениями аргумента функции, взятыми на уровне, равном половине её максимального значения.

Ширина применяется к таким явлениям, как длительность импульсных сигналов и спектральная ширина источников сигнала, используемых для оптических телекоммуникаций и разрешения спектрометров, а также при расчёте размера частиц на основе ширины рентгеновских линий по формуле Шеррера.

Договорённость о том, что ширина подразумевается по уровню половинной амплитуды, широко используется в обработке сигналов для определения полосы пропускания фильтров, которая определяется как ширина частотного диапазона, в котором ослабление сигнала не превышает половины его исходной мощности (в отличие от энергии!) или мощность составляет как минимум половину исходной. На языке обработки сигналов ослабление на 3 дБ (в 2 раза в линейной шкале), или ширина сигнала по уровню половинной мощности.

В случае нормального распределения, определяемого выражением:

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\,$

(где $\sigma$ — стандартное отклонение, $x_{0}$ — медиана), высота максимума равна ${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},$ а полуширина выражается через стандартное отклонение следующим образом:

$\mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2{,}355\;\sigma \,.$

Пики в спектрах часто описываются не только нормальным распределением, но и распределением Лоренца (Коши, Брейта—Вигнера)

$f(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}.$

Высота его максимума равна 1/(πぱいγがんま), а полная ширина на половине высоты FWHM = 2γがんま.

Гиперболический секанс — это ещё одна важная функция распределения, описывающая солитоны в оптике и других приложениях (например, она является солитоноподобным решением уравнения Кортевега — де Фриза и нелинейного уравнения Шрёдингера):

$f(x)=\operatorname {sch} {\frac {x}{X}}\,.$

Здесь опущены параметры, сдвигающие распределение по оси абсцисс, но не влияющие на ширину. Для этого распределения высота максимума равна 1, а полуширина

$\mathrm {FWHM} =2X\operatorname {arsch} {\frac {1}{2}}=2X\ln(2+{\sqrt {3}})\approx 2{,}634\;X,$

где arsch обозначает гиперболический ареасеканс.

Помимо понятия полной ширины на уровне половинной амплитуды (FWHM), используют половинную ширину на уровне половинной амплитуды (англ. HWHM — half width at half maximum, HWHM=FWHM/2).

Астрономические наблюдения

В астрономии принято использовать понятие ширины для описания качества изображения точечного источника излучения. Традиционно указывается ширина в угловых секундах, что характеризует степень невозмущённости атмосферы. Чем меньше ширина, тем выше разрешение снимков и больше прозрачность атмосферы. В лучших горных астрономических обсерваториях мира (Мауна-Кеа, Параналь (Чили), Майданак) атмосфера позволяет получать изображения с качеством ширины порядка 1" бо́льшую часть наблюдательного времени. Ширина меньше 0.5" на Земле практически не встречается. В средней полосе России ширина в спокойную ночь составляет около 2"-3".

Ссылки

• Federal Standard 1037C