Филинг-радиус

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Предложенa Громовым в 1983 году. Он использовал филинг-радиус в доказательстве систолического неравенства для существенных многообразий.

Кривые на плоскости

[править | править код]

Филинг-радиус () замкнутой кривой C на плоскости определяется как наибольший радиус круга, который содержится внутри кривой.

Филинг-радиус кривой C можно также определить как точную нижнюю грань из таких, что кривая C стягивается в точку в своей -окрестности.

Определение

[править | править код]

Обозначим через A кольцо или , в зависимости от того, является ли Х ориентируемым или нет.

Тогда фундаментальный класс, обозначамый [X], компактного n-мерного многообразия X, является образующей группы гомологии , и мы полагаем

где обозначает вложение Куратовского Х в пространство ограниченных функций на Х.

  • В любой размерности существует константа , что неравенство
выполняется для любого замкнутого риманова -мерного многообразия .
  • Это основное свойство филинг-радуиса, которое используется Громовым в доказательстве систолического неравенства; доказательство с существенными упрощениями и улучшенной константой приведено Александром Набутовским.[1]
  • Для данного многообразия размерности хотя бы 3, оптимальная константа в неравенстве
зависти только от размерности и его ориентируемости.[2]
  • Филинг-радиус не превосходит трети диаметра.[3]
    • Равенство достигается для вещественного проективного пространства с канонической метрикой.
      • В частности, филинг-радиус единичной окружности с индуцированной римановой метрикой равен πぱい/3, то есть одной шестой её длины.
  • Систоль существенного многообразия не превышает шести его филинг-радиусов.
    • Это неравенство становится равенством для вещественных проективных пространств, как указано выше.
  • Радиус инъективности компактного многообразия M даёт нижнюю границу на филинг-радиус. А именно,

Примечания

[править | править код]
  1. Alexander Nabutovsky, Linear bounds for constants in Gromov's systolic inequality and related results. arXiv:1909.12225
  2. Brunnbauer, Michael, Filling inequalities do not depend on topology. J. Reine Angew. Math. 624 (2008), 217–231.
  3. Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505–511.

Литература

[править | править код]
  • Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
  • Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505—511.
  • Katz, Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 137, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC 77716978