Первый интеграл

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$\left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.,\quad x\in U$

— дифференцируемая функция $f:U\to \mathbb {R}$, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, такая, что её производная по направлению векторного поля $A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))$

$L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\dots +a_{n}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0$

для всех $x$ из области $U$. Другими словами, функция $f$ постоянна на любом решении системы, содержащемся в области $U$.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть $U$ — область в $\mathbb {R} ^{n}$, $A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))$ — дифференцируемое векторное поле в $U$, $x_{0}\in U$, $A(x_{0})\neq 0$. Тогда существует такая окрестность точки $x_{0}$, что система дифференциальных уравнений

$\left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.$

имеет в этой окрестности ровно $n-1$ функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения $x''+V(x)=0$ относительно функции $x(t)$ первым интегралом является функция $E={\frac {1}{2}}x'^{2}+\int \limits _{x_{0}}^{x}V(z)dz$ (полная энергия в физических приложениях).

Литература

• Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1966.