Оптическая теорема — соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния
и сечение рассеяния
.
Оптическая теорема формулируется следующим образом:
![{\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k}}\operatorname {Im} f(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e3ec21f1c4fce1854981b423af646e1ae38186)
где
— амплитуда рассеяния вперёд,
— полное сечение рассеяния,
— волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.
Более общий вид теоремы:
![{\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\omega ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c864a73d80a5e63e3f168190fb72684154641721)
Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:
![{\displaystyle \psi \approx e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}+{\frac {1}{r}}f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')e^{ikr},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f68cfd3efd177028c6f039da33faad6eaa3f1c9)
где
— направление падения частиц,
— направление рассеяния.
Любая линейная комбинация функций
с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив
на произвольные коэффициенты
и проинтегрировав по всем направлениям
, получим такую линейную комбинацию в виде интеграла
![{\displaystyle \int F(\mathbf {n} )e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}\,d\Omega +{\frac {e^{ikr}}{r}}\int F(\mathbf {n} )f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')\,d\Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972a4d6f58b35736488df0f478011b90f18f0596)
Поскольку расстояние
велико, то множитель
в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора
. Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений
, при которых показатель экспоненты имеет экстремум (
). В каждой из этих областей множитель
можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование даёт
![{\displaystyle 2\pi iF(-\mathbf {n} '){\frac {e^{-ikr}}{kr}}-2\pi iF(\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}}{kr}}+{\frac {e^{ikr}}{r}}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\,d\Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/affcddaff02312ad89b5f2e5251d84ab7b8a16c4)
Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель
:
![{\displaystyle {\frac {e^{-ikr}}{r}}F(-\mathbf {n} ')-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\hat {S}}F(\mathbf {n} '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cef1090fd3d85b8898cc1eb06efdb9bb601bbcd)
где
![{\displaystyle {\hat {S}}=1+2ik{\hat {f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a448eb576890c0959bedea3b52e2f18012e52a34)
а
— интегральный оператор:
![{\displaystyle {\hat {f}}F(\mathbf {n} ')={\frac {1}{4\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\,d\Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8629ab6f2b3f26350d1736b15e7f242788703fbe)
Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния
должен быть унитарным, то есть
![{\displaystyle {\hat {S}}{\hat {S}}^{+}={\hat {1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee608b0e832e5cd289339f84c74abf5feb9a728)
или (с учётом выражения для
):
![{\displaystyle {\hat {f}}-{\hat {f}}^{+}=2ik{\hat {f}}{\hat {f}}^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62c8d1145bb04e6ce4f539ebde0174207700516)
Наконец, учитывая определение
, получаем утверждение теоремы:
![{\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\Omega ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb0a2e9df0f61dce67825e1ae55eee9b0cdb88e)