Центр вписанной окружности
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Центр вписанной окружности | |
---|---|
![]() Окружность, вписанная в треугольник | |
Барицентрические координаты | |
Трилинейные координаты | 1:1:1 |
Код ЭЦТ | X(1) |
Связанные точки | |
Изогонально сопряженная | она же |
Изотомически сопряженная | центр антибиссектрис |
Дополнительная[исп.] | центр Шпикера |
Антидополнительная[исп.] | точка Нагеля |
![]() |
Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.
Традиционно обозначается латинской буквой (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом .
Свойства
[править | править код]- Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
- Для треугольника со сторонами , и , противолежащими вершинам , и соответственно, инцентр делит биссектрису угла в отношении:
- .
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B5.png/220px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B5.png)
- Если продолжение биссектрисы угла пересекает описанную окружность в точке , то выполняется равенство: , где — центр вневписанной окружности, касающейся стороны ; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).
- Расстояние между инцентром и центром описанной окружности выражается формулой Эйлера:
- ,
- где и — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
- Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[1].
- Инцентр можно найти как центр масс вершин треугольника если в каждую вершину поместить массу, равную длине противолежащей стороны (см. также Центр Шпикера).
- Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).[2]
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C.png/200px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C.png)
- Лемма Веррьера[3]. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. снизу).
- Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.[4].
- Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%B1%D0%BE.svg/200px-%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%B1%D0%BE.svg.png)
- Третья теорема Тебо. Пусть — произвольный треугольник, — произвольная точка на стороне , — центр окружности, касающейся отрезков и описанной около окружности, — центр окружности, касающейся отрезков и описанной около окружности. Тогда отрезок проходит через точку — центр окружности, вписанной в , и при этом , где .
- Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, Точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника.[5].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Мякишев А. Г. . Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение». вып. 19). — ISBN 5-94057-048-8. — С. 11, п. 5.
- ↑ Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Архивная копия от 14 июля 2020 на Wayback Machine
- ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ Ross Honsberger, "3. An Unlikely Collinearity" in "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry" (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390), p. 30, Figure 34
- ↑ Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 11, правая колонка, 2-ой абзац сверху// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf Архивная копия от 22 августа 2022 на Wayback Machine
Литература
[править | править код]- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 88-90. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.