Skup

Za ostala značenja, vidi Skup (razvrstavanje).

Skup je osnovni matematicki pojam koji se ne definiše. Iako nema definiciju skup se može shvatiti kao bilo koja kolekcija različitih objekata smatranim cjelinom. Iako se ovo čini jednostavnom idejom, skupovi su svejedno jedan od najvažnijih fundamentalnih koncepata u modernoj matematici. Matematička disciplina koja proučava moguće skupove, teorija skupova, je sadržajno bogata i aktivna.

Teorija skupova, stvorena tek krajem 19. stoljeća, je danas sveprisutni dio matematičkog obrazovanja, te se stoga u većini zemalja uvodi već u osnovnoj školi. Teorija skupova se može da se shvati kao osnova nad kojom može biti izgrađena gotovo cijela matematika, te kao ishodište iz kojeg gotovo cijela matematika može biti izvedena.

Osnovni pojmovi

Pojam skupa se obično ne definiše i nema zvaničnu definiciju, već se uzima kao osnovni pojam, a često se umjesto tog termina koriste razni sinonimi, kao što su, na primjer, mnoštvo, familija, kolekcija isl.

Za označavanje skupova najčešće koristimo velika slova latinice $A,B,\ldots$ . Ako je neki skup konačan ili prebrojivo beskonačan, pa se njegovi elementi mogu nabrojati, koristimo se zapisom.

$A=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ , odnosno $A=\{x_{1},x_{2},\ldots \}$ ;

takođe, elemente nekog skupa možemo opisati ako koristimo neko svojstvo $P(x)$ koje oni (i samo oni) zadovoljavaju:

$A=\{x\mid P(x)\}$

Dakle, skup je određen svojim elementima; pripadnost elementa $x$ skupu $A$ označava se sa $x\in A$ , a nepripadnost sa $x\notin A$ .

Između skupova se uvode dvije osnovne relacije - jednakost i inkluzija:

$A=B\Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\Leftrightarrow x\in B)$

$A\subset B\Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\Rightarrow x\in B)$

Neposredno iz ovih definicija je jasno da je

$A=B\Leftrightarrow (A\subset B\land B\subset A)$

Posebno izdvajamo prazan skup, koji označavamo sa $\emptyset$ i možemo definisati, na primjer, pomoću $\emptyset =\{x\mid x\neq x\}$ . Taj skup ima osobinu da je $\emptyset \in A$ za bilo koji skup $A$ . Takođe, ako su u okviru neke teorije svi skupovi sa kojima operišemo podskupovi nekog fiksiranog skupa, taj skup nazivamo univerzalnim i često obilježavamo sa $U$ . Takav skup znači ima osobinu da je $A\in U$ za sve skupove $A$ sa kojima operišemo u datom problemu, pri čemu treba naglasiti da nije ispravno koristiti termin "skup svih skupova" - on može dovesti do neželjenih paradoksa.

Istorija

Savremena teorija skupova nastaje krajem 19. veka kada nemački matematičar Georg Kantor daje opisnu matematičku teoriju koja se još naziva i intuitivna ili naivna teorija skupova.

Definicija: Skup je objedinjenje izvesnih elemenata u jednu celinu.

Ovde će biti predstavljen sistem aksioma kakvog ga je postavio Gotlob Frege u knjizi "Osnovni zakoni aritmetike" 1893. godine

Aksioma o jednakosti dva skupa

Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.

Aksioma apstrakcije

Za unapred zadato svojstvo P(x) postoji skup {x|P(x)} čiji su elementi upravo oni objekti koji imaju to svojstvo.

Aksioma izbora

Za svaki neprazan skup S postoji funkcija f čiji su originali neprazni podskupovi tog skupa, a slike su elementi originala, tj.

(\forall S)(\exists f:P(S)\ {\emptyset }\longrightarrow S)(\forall A)(A\subset S\land A\neq \emptyset \Longrightarrow f(A)\in A)

Poslednja aksioma kaže da svako svojstvo definiše skup. Međutim, već 1902. godine će Bertran Rasel pokazati primer koji vodi kontradikciji. To dobija naziv Raselov paradoks, a teorija skupova se našla pred velikim problemima.