Neutral (matematika)
U matematici, neutral (ili neutralni element) je posebna vrsta elementa nekog skupa u odnosu na binarnu operaciju na tom skupu. Neutral se odlikuje time što druge elemente skupa ostavlja nepromenjenim kada se sa njima kombinuje u toj operaciji. Neutrali se koriste u grupama i povezanim konceptima.
Neka je (S,*) skup S sa binarnom operacijom * definisanom na sebi. Tada se element e skupa S naziva levi neutral ako e * a = a za svako a iz S, a desni neutral ako a * e = a za svako a iz S. Ako je e ujedno i levi i desni neutral, onda se naziva dvostranim neutralom, ili prosto neutralom.
Neutral u odnosu na sabiranje se naziva aditivnim neutralom (često se označava sa 0) a neutral u odnosu na množenje se naziva multiplikativni inverz (često se označava sa 1). Ova razlika se obično koristi za skupove koji imaju obe ove binarne operacije, kao što su prsteni.
Primeri[uredi | uredi kod]
| skup | operacija | neutral |
|---|---|---|
| realni brojevi | + (sabiranje) | 0 |
| realni brojevi | • (množenje) | 1 |
| realni brojevi | ab (stepenovanje) | 1 (samo desni neutral) |
| m-sa-n matrica | + (sabiranje) | nula matrica |
| n-sa-n kvadratne matrice | • (množenje) | jedinična matrica |
| sve funkcije iz skupa M u samog sebe | ∘ (kompozicija funkcija) | identiteta |
| sve funkcije iz skupa M u samog sebe | * (konvolucija) | |
| niske karaktera, liste | konkatenacija | prazna niska, prazna lista |
| prošireni realni brojevi | minimum/infinum | +∞ |
| prošireni realni brojevi | maksimum/supremum | -∞ |
| podskupovi skupa M | ∩ (presek) | M |
| skupovi | ∪ (unija) | { } (prazan skup) |
| Bulova logika | ∧ (logičko i) | ⊤ (tačno) |
| Bulova logika | ∨ (logičko ili) | ⊥ (netačno) |
| samo dva elementa {e, f} | * definisana kao e * e = f * e = e and f * f = e * f = f |
i e i f su levi neutrali, ali ne postoji desni ili dvostrani neutral |
Kao što poslednji primer pokazuje, moguće je da ima više levih neutrala. U stvari, svaki element može biti levi neutral. Slično, može biti više desnih neutrala. Međutim, ako postoji i lesni neutral i levi neutral, onda su jednaki i postoji samo jedan dvostrani neutral. Da bi se ovo videlo, uočimo da ako je levi neutral, a desni, onda . Specijalno, nije moguće da postoji više od jednog dvostranog neutrala. Kada bi postojala dva, i f, onda bi moralo da bude jednako i i .
