L-funkcija
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Riemann-Zeta-Func.png/250px-Riemann-Zeta-Func.png)
L-funkcija je v matematiki meromorfna funkcija v kompleksni ravnini povezana z več kategorijami matematičnih objektov. L-vrsta je potenčna vrsta po navadi konvergentna na polravnini, iz katere prek analitičnega nadaljevanja izhaja L-funkcija.
Teorija L-funkcij je postala zelo obsežna in je še vedno polna domnev. Je del analitične teorije števil. V njej so skonstruirane široke razširitve Riemannove funkcije
Konstrukcija
[uredi | uredi kodo]Na začetku se razlikuje med L-vrsto, predstavitvijo z neskončnimi vrstami (na primer Dirichletova vrsta za Riemannovo funkcijo
To je (domnevno) meromorfno nadaljevanje na kompleksno ravnino, ki se imenuje L-funkcija. V klasičnih primerih so uporabne informacije vsebovane v vrednostih in obnašaju L-funkcij v točkah, kjer predstavitev z vrsto ne konvergira. Splošni izraz L-funkcija vsebuje mnoge znane vrste funkcij
Domnevne informacije
[uredi | uredi kodo]Lahko se poda seznam značilnosti znanih primerov L-funkcij, ki se jih želi posplošiti:
- lega ničel in polov,
- funkcijska enačba (L-funkcija) glede na navpično premico ,
- zanimive vednosti za cela števila.
Iz podrobnega dela izhajajo mnoge domneve, na primer o eksaktni vrsti funkcijske enačbe, ki bi veljala. Ker je Riemannova funkcija
Statistika porazdelitev ničel je zanimiva zaradi njene povezave s problemi, kot so posplošena Riemannova domneva, porazdelitev praštevil ipd. Zanimive so tudi povezave s teorijo slučajnih matrik in kvantnim kaosom. Fraktalno zgradbo porazdelitev so raziskovali s pomočjo analize reskaliranega obsega.[2] Samopodobnost porazdelitev ničel je pomembna in jo označuje velika fraktalna razsežnost 1,9. Ta precej velika fraktalna razsežnost je najdena prek ničel, ki pokrivajo vsaj petnajst stopenj velikost Riemannove funkcije
Birch-Swinnerton-Dyerjeva domneva
[uredi | uredi kodo]Eden od vplivnih primerov tako za zgodovino bolj splošnih L-funkcij in kot še vedno odprti raziskovalni problem je domneva, ki sta jo razvila Bryan John Birch in Peter Swinnerton-Dyer v prvi polovici 1960-ih. Velja za eliptično krivuljo , in problem, ki ga poskuša rešiti, je napoved ranga eliptične krivulje nad racionalnimi števili (ali kakšnim drugim globalnim poljem): številom prostih generatorjev svoje grupe racionalnih točk. Veliko predhodnega dela na tem območju se združuje okrog boljšega razumevanja L-funkcij. To je včasih kot vzorčni primer porajajoče teorije L-funkcij.
Vzpon splošne teorije
[uredi | uredi kodo]Ta razvoj je za nekaj let prehitel Langlandsov program in se ga lahko šteje za dopolnilnega: Langlandsovo delo se v veliki meri navezuje na Artinove L-funkcije, ki so bile kot Heckejeve L-funkcije definirane več desetletij prej, in na L-funkcije pridružene k splošnim avtomorfnim reprezentacijam.
Postopoma je postalo jasneje v kakšnem smislu se lahko skonstruirajo Hasse-Weilove funkcije
Glej tudi
[uredi | uredi kodo]- posplošena Riemannova domneva
- Dirichletova L-funkcija
- avtomorfna L-funkcija
- izrek o modularnosti
- Artinova domneva
- posebne vrednosti L-funkcij
- Šimizujeva L-funkcija
Sklici
[uredi | uredi kodo]Viri
[uredi | uredi kodo]- Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, zv. 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
- Shanker, O. (2006), »Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions«, J. Phys. A: Math. Gen., 39 (45): 13983–13997, Bibcode:2006JPhA...3913983S, doi:10.1088/0305-4470/39/45/008
- Steuding, Jorn (Junij 2005), »An Introduction to the Theory of L-functions«, Preprint
Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]- LMFDB, podatkovna baza L-funkcij, modularnih form in sorodnih objektov (angleško)
- Glimpses of a new (mathematical) world - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, Physorg.com, March 13, 2008 (angleško)
- Creeping Up on Riemann Arhivirano 2012-02-16 na Wayback Machine., Science News, April 2, 2008 (angleško)
- Hunting the elusive L-function (angleško)
- Lavrik, A. F. (2001), »L-function«, v Hazewinkel, Michiel (ur.), Encyclopedia of Mathematics (v angleščini), Springer, ISBN 978-1-55608-010-4