Bra-ket
Notacioni Bra-Ket, është një formalizmi (sistem simbolesh) i shpikur nga Pol Dirak (Paul Dirac) për të thjeshtuar prezantimin e llogaritjeve në Mekanikën Kuantike në një mënyre sa më kompakte. Aparati matematik për përshkrimin e fenomeneve fizikë në degën e mekanikës kuantike përfshin kryesisht Algjebrën Lineare dhe Teorinë e Probabilitetit. Një "Ket" përcaktohet si një vektor në një hapësire Hilbertiane.
Bra dhe Ket
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Përdorimi më i zakonshëm : Mekanika kuantike
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Në mekanikën kuantike, gjendja e një sistemi fizik jepet nga rreze njësi në një hapësirë Hilbertiane të ndashme komplekse, , ose, në mënyre ekuivalente, nga një pikë në hapësirën projektive të sistemit. Çdo vektor në këtë rreze quhet një "ket" dhe shkruhet si , e cila lexohet si "ket psaj". (
Ket mund të shikohet si një vektor kolonë dhe (në rast së kemi një bazë në hapësirën Hilbertiane) mund të shkruhet në komponentë,
ku hapësira Hilbertiane në fjalë është e fundme. Në një hapësirë dimensionale të pafundme ka një numër të pafundem komponentësh dhe ket mund të shkruhet në një notacion kompleks duke i ngjitur një bra (shiko më poshtë). Për shembull,
Çdo ket ka një bra duale, t shkruajtur si . Për shembull, një bra që i korrespondon ketit të më lartem do të jetë një vektor rreshti.
Kjo është një funksional linear i vazhdueshëm nga numrat komplekse , i përcaktuar nga :
- për të gjitha kets
ku jep produktin e brendshem të përcaktuar në hapësirën Hilbertiane. Në këtë rast avantazhi i notacionit bra-ket bëhet i qartë : kur lëshojmë parantezat (siç është e zakonshme me funksionet lineare) dhe bashkojmë se bashku vizat vertikale në marrim , e cila është një notacion i zakonshëm për produktin e brendshëm në hapësirën Hilbertiane. Ky kombinim i bra me ket formon një numër kompleks të quajtur bra-ket ose braket.
Përdorime më të përgjithshme
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Operatore lineare
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Vetitë
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Notacioni bra-ket u dizenjua për lehtësimin e manipulimeve formale të shprehjeve linearo-algjebrike. Disa nga vetitë që lejojnë këto manipulime jepen me poshtë. Në seksionet e mëposhtme, c1 dhe c2 tregojnë numra komplekse arbitrare, c* qëndron për të konjuguarin komplex conjugate të c, A dhe B tregojnë operatore lineare arbitrare, dhe duhet theksuar se këto veti qëndrojnë për çfarëdo zgjedhje të bra dhe ket.
Anti-komutacioni
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Vektori Bra është antikomutativi i Ket.
Një vektor Ket në hapësirën Hilbertiane mund të jetë
- një kolonë me elemente diskrete a1, a2, a3...
- një kolonë me një numër të pafundme elementesh
Në rastin e fundit normalizimi i Ket bëhet duke marrë parasysh konvergjencën e series në hapësirën vektoriale përkatëse.
Lineariteti
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]- Meqenëse bra janë funksionale lineare,
- Nga përcaktimi i mbledhjes dhe shumëzimit skalar të funksionaleve lineare në hapësirën duale,
Asociativiteti
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Po te kemi një shprehje që përfshin numra komplekse, bra, ket, prodhime të brendshme, prodhime të jashtme, dhe/ose operatore lineare (me përjashtim të mbledhjes), te shkruara në notacionin bra-ket, grupimet në paranteza nuk kane rendësi (i.e., pra vetia e asociativitetit qëndron). Për shembull :
e kështu më rradhe. Shprehjet mund te shkruhen, ne mënyre koncize, pa paranteza. Vini re se vetia e asociativitetit nuk qëndron për shprehje qe përfshinë operatore jo-lineare, si operatori i rikthimit kohor antilinear në fizike.
Konjugimi Hermitian
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Bra dhe ket të përbëra
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Reprezentimi nëpërmjet bra dhe ket
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Operatori njësi
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Notacioni që përdoret nga matematikanët
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Lexime të mëtejshme
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]- Feynman, Leighton and Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics Vol. III (në anglisht). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02115-3.
Lidhje të jashtme
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]- Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course", The University of Texas at Austin.
- 1. Ket space
- 2. Bra space
- 3. Operators
- 4. The outer product
- 5. Eigenvalues and eigenvectors
- Robert Littlejohn, Lecture notes on "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", including bra-ket notation. Arkivuar 19 korrik 2011 tek Wayback Machine