Клебш-Горданови коефицијенти са ознаком
или
користе се у математици и физици да би се за Лијеве групе декомпоновао тензорски производ две иредуцибилне репрезентације. Користе се и приликом сабирања угаоних момената. Именовани су у част немачких математичара Алфреда Клебша и Паула Алберта Гордана.
Нека Лијева група
има две иредуцибилне репрезентације
и
. Вектори базе у две репрезентације претпоставимо да су
и
. Иредуцибилни тензорски оператор представља тензорске компоненте
, које се трансформишу по иредуцибилним репрезентацијама групе, тј. ако задовољавају услов:
![{\displaystyle {\tilde {\hat {F}}}_{\chi }^{(k)}=\sum _{\chi '}D_{\chi '\chi }^{(k)}(g){\hat {F}}_{\chi '}^{(k)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0011b546d1e6ee6fa9206115e6c9a714434f41ae)
Вектори
, где
образују базу репрезентације од
. У општем случају тај приказ је редуцибилан, па се даде приказати помоћу линеарних комбинација базе иредуцибилих репрезентација. Добија се:
![{\displaystyle |{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle =\sum _{\gamma \rho }\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{{\hat {F}}^{(k)}\psi ^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138d98b5c4862147fa1348512ed4c3681da49818)
Тако дани коефицијенти
називају се општи Клебш-Горданови коефицијенти групе
.
Оператори угаоних момената су аутоадјунгирани оператори, који задовољавају релације комутације:
![{\displaystyle [{\textrm {j}}_{k},{\textrm {j}}_{l}]={\textrm {j}}_{k}{\textrm {j}}_{l}-{\textrm {j}}_{l}{\textrm {j}}_{k}=i\hbar \sum _{m}\varepsilon _{klm}{\textrm {j}}_{m},\quad \mathrm {gde} \quad k,l,m\in (x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dc0fa40a9836ef9a98476f9898eaadf516ff5f)
а
је Леви-Чивита симбол. Три оператора заједно чине векторски оператор:
је пример Казимировога оператора.
![{\displaystyle {\textrm {j}}_{\pm }={\textrm {j}}_{x}\pm i{\textrm {j}}_{y}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29304cb5d766bc891feba5f7c82dd46c64e6cae3)
Из горњих дефиниција добија се да
комутира са
,
and
:
![{\displaystyle [\mathbf {j} ^{2},{\textrm {j}}_{k}]=0\ \mathrm {za} \ k=x,y,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804fbbc346067b2e97c67f9dde65f5ea3a14ba5f)
Када два ермитска оператора комутирају тада постоји заједнички скуп својствених функција. Одаберу ли се
и
онда налазимо својствена стања користећи комутационе релације:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle &\;\;\;j=0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},2,\ldots \\{\textrm {j}}_{z}|j\,m\rangle =\hbar m|j\,m\rangle &\;\;\;m=-j,-j+1,\ldots ,j.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de7e78f9d2f4c935ea8024b04855bdd275f9c3e)
С друге стране оператори
и
мењају
вредности:
![{\displaystyle {\textrm {j}}_{\pm }|j\,m\rangle =C_{\pm }(j,m)|j\,m\pm 1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeca22991f41291059307b3084fa36afc6eec968)
![{\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6337dab1904b3b4b0bc070f6d1378f657fea6163)
Стања угаоних момената мора да буду ортогоналана и нормализирана:
![{\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}|j_{2}\,m_{2}\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},m_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd574f74781bfe0f09b76d2fae2b04b15b98179b)
Нека
представља
-димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:
![{\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle ,\quad m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\ldots j_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84237de6ac2b7bc2d82d7184b97b0ba5d62a125b)
Други простор
нека је
-димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:
![{\displaystyle |j_{2}m_{2}\rangle ,\quad m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\ldots j_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263c4d091411a9daf7d850c9347e1099c5e1e991)
Тензорски производ тих простора
је
димензионалан простор са базом:
![{\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \equiv |j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle ,\quad m_{1}=-j_{1},\ldots j_{1},\quad m_{2}=-j_{2},\ldots j_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fc1b4493847778bb474a47f9ea3d0cf57f89c9)
Дејство оператора на таквој бази може се дефинисати помоћу:
![{\displaystyle ({\textrm {j}}_{i}\otimes 1)|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \equiv (j_{i}|j_{1}m_{1}\rangle )\otimes |j_{2}m_{2}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86eb2e15d69a593b53dfa2e81fbf7d563349b82)
и
![{\displaystyle (1\otimes {\textrm {j}}_{i})|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \equiv |j_{1}m_{1}\rangle \otimes j_{i}|j_{2}m_{2}\rangle \quad \mathrm {za} \quad i=x,y,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c644228b80c80551ab116cffdca913ff7ae1fb23)
Укупни угаони момент се онда може дефинисати са:
![{\displaystyle {\textrm {J}}_{i}={\textrm {j}}_{i}\otimes 1+1\otimes {\textrm {j}}_{i}\quad \mathrm {za} \quad i=x,y,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58572341b6aeef4933455758016b2e5617b42a6f)
Угаони моменти задовољавају комутационе релације:
па следи:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|(j_{1}j_{2})JM\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|(j_{1}j_{2})JM\rangle \\{\textrm {J}}_{z}|(j_{1}j_{2})JM\rangle &=\hbar M|(j_{1}j_{2})JM\rangle ,\quad \mathrm {za} \quad M=-J,\ldots ,J.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04eae15a211d64846de6e10d96e68af3f936436)
Укупни угаони момент треба да задовољава триангуларну релацију:
![{\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5c0b3d53672d15ef5b4885fa4d4feb57cf2d4f)
Укупан број својствених стања једнак је димензији
![{\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d193fbc1d2822a0c96f1be2f0a501226463b7e)
Формална дефиниција коефицијената[уреди | уреди извор]
Стања укупнога угаонога момента могу се развити:
![{\displaystyle |(j_{1}j_{2})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb280a7f4a4f789368b6c23dff14523fde7edfa)
а коефицијенти
тога развоја називају се Клебш-Горданови коефицијенти.
Уколико на обе стране горњега израза применимо оператор
онда можемо да видимо да су коефицијенти различити од нуле само ако је
Уз помоћ оператора
добијамо:
![{\displaystyle {\textrm {J}}_{\pm }|(j_{1}j_{2})JM\rangle =C_{\pm }(J,M)|(j_{1}j_{2})JM\pm 1\rangle =C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\pm 1\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e65bb76ca93d1e92065c6f364a1e871f4234f43)
Применимо ли исти оператор на десну страну прве једначине из прошлога поглавља добија се:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {J}}_{\pm }&\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \\&=\sum _{m_{1}m_{2}}\left[C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}m_{1}\pm 1\rangle |j_{2}m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\pm 1\rangle \right]\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \\&=\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \left[C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}{m_{1}\mp 1}j_{2}m_{2}|JM\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}{m_{2}\mp 1}|JM\rangle \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82507ad11a6163f271023e8a9d394198be6fdbf9)
Комбинујући те резултате добија се рекурзија:
![{\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\pm 1\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}{m_{1}\mp 1}j_{2}m_{2}|JM\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}{m_{2}\mp 1}|JM\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a30460e8748ac24e7f92889ca5abba386a153f)
Узмемо ли
добијамо:
![{\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}{m_{1}-1}j_{2}m_{2}|JJ\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}-1|JJ\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bbce9896d540eacd1a8e6ae7bd4f4d87189afb)
![{\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle JM|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cfaf5a94b4b95bc6dcf2a2a337a45ea5459e42)
![{\displaystyle \sum _{m_{1}m_{2}}\langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|J'M'\rangle =\langle JM|J'M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1f40fea42ebec4f93530c40bcf9cea217c6811)
Експлицитан приказ коефицијената[уреди | уреди извор]
За
Клебш-Горданови коефицијенти су:
![{\displaystyle \langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|00\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{2}+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4156df8c4cd46955077c9aede8a317cefa4043bf)
За
и
имамо
![{\displaystyle \langle j_{1},j_{1};j_{2},j_{2}|j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}\rangle =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909a2569259a7ec1b1d406582bfac95c076d6974)
За
и
вреди:
![{\displaystyle \langle j_{1},m_{1};j_{1},{-m_{1}}|2j_{1},0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3277f9288bae0af08a4debedd744dab353ce26f)
За
вреди:
![{\displaystyle \langle j_{1},j_{1};j_{1},{-j_{1}}|J,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7525880f08a7c3d69286b302c9b3f251bebcb823)
За
имамо:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1},m;1,0|j_{1}+1,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1},m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1}-1,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d982a6bc35527e13815bf36863ba92c9a41fcb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,{-m_{1}}j_{2}\,{-m_{2}}|J\,{-M}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}m_{1}J\,{-M}|j_{2}\,{-m_{2}}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,{-M}j_{2}m_{2}|j_{1}\,{-m_{1}}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle JMj_{1}\,{-m_{1}}|j_{2}m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,{-m_{2}}JM|j_{1}m_{1}\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd0c19438dab35ca7eaf45873d02dc2070f658a)
Веза са 3-jm симболима и D-матрицама[уреди | уреди извор]
Клебш-Горданови коефицијенти повезани су са 3-ј симболима:
![{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf775417fb295c078c603cd8157221086b95bf7)
Интеграцијом три Вигнерове D матрице добија се Клебш Горданов коефицијент:
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma D_{MK}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{m_{1}k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2}k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle j_{1}k_{1}j_{2}k_{2}|JK\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111be745288efbd9f904ae3c212fb750088b5da2)
- 3ј, 6ј и 9ј симболи
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0.
- Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton. . New Jersey: Princeton University Press. 1957. ISBN 978-0-691-07912-7.
- Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.). . New York: North Holland Publishing. 1981. ISBN 978-0-7204-0045-8.