θしーた₁₀

Inom representationsteorin (en gren inom matematiken) är θしーた₁₀ en kuspidal unipotent komplex irreducibel representation av den symplektiska gruppen Sp₄ över en ändlig, lokal eller global kropp.

Srinivasan (1968) introducerade θしーた₁₀ för den symplektiska gruppen Sp₄(F_q) över en ändlig kropp F_q av ordning q och visade att den i detta fall är q(q – 1)²/2-dimensionell. Subskriptionen 10 i θしーた₁₀ är en tillfällighetshistoria: Srinivasan namngav godtyckligt några utmärkande egenskaper i Sp₄(F_q) såsom θしーた₁, θしーた₂, ..., θしーた₁₃, och den tionde råkade ha den kuspidala unipotenta egenskapen.

θしーた₁₀ är den enda kuspidala unipotenta representationen av Sp₄(F_q). Det är det mest enkla exemplet på en kuspidal unipotent representation av en reduktiv grupp, och även det enklaste exemplet på en degenererad representation (utan en Whittakermodell). Generella linjära grupper har inga kuspidala unipotenta representationer och inga degenererade representationer, så θしーた₁₀ uppvisar egenskaper av generella reduktiva grupper som inte uppträder för generella linjära grupper.

Howe & Piatetski-Shapiro (1979) använde representationen θしーた₁₀ över lokala och globala kroppar i deras konstruktion av motexempel till Ramanujans generaliserade förmodan för den symplektiska gruppen. Adams (2004) beskrev representationen θしーた₁₀ av Liegruppen Sp₄(R) över den lokala kroppen R i detalj.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, [{{fullurl:en:θしーた₁₀}} θしーた₁₀], 15 januari 2014.

Adams, Jeffrey (2004), ”Theta-10”, i Hida, Haruzo; Ramakrishnan, Dinakar; Shahidi, Freydoon, Contributions to automorphic forms, geometry, and number theory: a volume in honor of Joseph A. Shalika, Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, s. 39–56, ISBN 978-0-8018-7860-2, http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/info/docs/hida_pdfs/hida02.pdf
Deshpande, Tanmay (2008). ”An exceptional representation of Sp(4,F_q)”. 'arXiv:0804.2722'.
Gol'fand, Ya. Yu. (1978), ”An exceptional representation of Sp(4,F_q)”, Functional Analysis and its Applications (Institute of Problems in Management, Academy of Sciences of the USSR. Translated from Funktsional'nyi Analiz i Ego Prilozheniya) 12 (4): 83–84, doi:10.1007/BF01076387 .
Howe, Roger; Piatetski-Shapiro, I. I. (1979), ”A counterexample to the "generalized Ramanujan conjecture" for (quasi-) split groups”, i Borel, Armand; Casselman, W., Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 1, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, R.I.: American Mathematical Society, s. 315–322, ISBN 978-0-8218-1435-2, http://www.ams.org/publications/online-books/pspum331-index
Kim, Ju-Lee; Piatetski-Shapiro, Ilya I. (2001), ”Quadratic base change of θしーた₁₀”, Israel Journal of Mathematics 123: 317–340, doi:10.1007/BF02784134
Srinivasan, Bhama (1968), ”The characters of the finite symplectic group Sp(4,q)”, Transactions of the American Mathematical Society 131: 488–525, ISSN 0002-9947